\ANG{
% 10/Algebra/ 
%%\item
\parbox[t]{6.2cm}{
Nebenstehende Abbildung zeigt eine Folge von Quadraten mit den 
Kantenl"angen $a_{\nu}$ und den Fl"acheninhalten $A_{\nu}$. Die Quadrate  
werden von zwei Geraden eingeschlossen, die sich unter dem Winkel $\varphi$ 
schneiden.
Mit $F_{n}$ bezeichnen wir die Gesamtfl"ache der ersten $n$ Quadrate, 
mit $U_{n}$ den Umfang der von den ersten $n$ Quadraten gebildeten, 
treppenartigen Figur.
}\hfill
\raisebox{-62mm}{\parbox[t]{8cm}{
\begin{scriptsize}
\unitlength 1.6mm
\linethickness{0.4pt}
\begin{picture}(50.00,40.00)
%\put(9.00,5.00){\framebox(2.95,2.95)[cc]{}}
%\put(12.00,5.00){\framebox(5.20,5.20)[cc]{}}
%\put(17.25,5){\framebox(9.14,9.14)[cc]{}}
%\put(26.4375,5){\framebox(16.03,16.03)[cc]{}}
\put(9.00,5.00){\framebox(2.9,2.9)[cc]{}}
\put(12.00,5.00){\framebox(5.10,5.10)[cc]{}}
\put(17.25,5){\framebox(9.1,9.1)[cc]{}}
\put(26.4375,5){\framebox(16.0,16.0)[cc]{}}
\put(8.00,6.0){\makebox(0,0)[cc]{$\varphi$}}
\put(9,3){\makebox(0,0)[cc]{$b_1$}}
\put(12,3){\makebox(0,0)[cc]{$b_2$}}
\put(17.25,3){\makebox(0,0)[cc]{$b_3$}}
\put(26.44,3){\makebox(0,0)[cc]{$b_4$}}
\put(42.516,3){\makebox(0,0)[cc]{$b_5$}}
\put(10.5,6.5){\makebox(0,0)[cc]{$A_1$}}
\put(14.6,6.51){\makebox(0,0)[cc]{$A_2$}}
\put(21.8,9.6){\makebox(0,0)[cc]{$A_3$}}
\put(34.5,13.0){\makebox(0,0)[cc]{$A_4$}}
\put(14.6,9.25){\makebox(0,0)[cc]{$a_2$}}
\put(21.8,13.2){\makebox(0,0)[cc]{$a_3$}}
\put(34.5,20.0){\makebox(0,0)[cc]{$a_4$}}
\put(8,35.0){\makebox(0,0)[lc]{\small Folge von Quadraten}}
\put(8,30.0){\makebox(0,0)[lc]{\small$a_\nu=k\cdot b_{\nu}=
b_{\nu+1}-b_{\nu}$}}
\put(5,5){\line(4,3){40.00}}
\put(5,5){\line(1,0){40.00}}
\put(42.5156,33.137){\line(1,0){5}}
\put(42.5156,5){\line(0,1){28.137}}
\put(0,0){\framebox(50.00,40.00)[cc]{}}
\end{picture}
\end{scriptsize}
}}
\begin{enumerate}
\item Zeigen Sie, dass die Folgen der $b_{\nu}$, $a_{\nu}$ und $A_{\nu}$ 
geometrisch sind und berechnen Sie die Quotienten der drei Folgen in 
Abh"angigkeit von $k$ (siehe Abbildung)!
\item Dr"ucken Sie $F_{n}$ und $U_{n}$ durch $a_1$ und $k$ aus!
\item Berechnen Sie $F_{50}$ und $U_{50}$ f"ur $a_1=1\,$cm und 
$\varphi=45^\circ$! Vergleichen Sie die Ergebnisse mit der Oberfl"ache und 
dem Umfang der Erde (Erdradius: $R=6370\,$km)!
\item L"osen Sie Teilaufgabe (c) f"ur $\varphi=30^\circ$!
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $b_{\nu+1}=b_{\nu}\cdot (1+k)$ , $a_{\nu+1}=a_{\nu}\cdot (1+k)$ , 
$A_{\nu+1}=A_{\nu}\cdot (1+k)^2$
\item $\D F_n=\sum_{\nu=1}^{n}A_{\nu}=
a_1^2\cdot\frac{(1+k)^{2n}-1}{(1+k)^2-1}$\\
$\D U_n=2\cdot(b_{n+1}-b_1)+2\,a_n=
2\,a_1\cdot\left(\frac{(1+k)^n-1}{k}+(1+k)^{n-1}\right)$
\item $\D k=\tan 45^\circ=1$ , $\D F_{50}=4{,}23\cdot 10^{19}\,{\rm km}^2=
8{,}29\cdot 10^{10}\cdot A_{\rm Erde}$\\
$U_{50}=3{,}38\cdot 10^{10}\,{\rm km}=8{,}44\cdot 10^{5}\cdot U_{Erde}$
\item $\D k=\tan 30^\circ=0{,}577$ , $\D F_{50}=4{,}17\cdot 10^{9}\,{\rm km}^2=
8{,}18\cdot A_{\rm Erde}$\\
$U_{50}=3{,}73\cdot 10^{5}\,{\rm km}=9{,}32\cdot U_{Erde}$
\end{enumerate}
}
