\ANG{
% 10/Algebra/ 
%%\item
Setzt man beim Roulette auf einfache Chancen (z.B. rot-schwarz), dann 
erh"alt man bei einem Treffer den doppelten Einsatz zur"uck, d.h. der 
Gewinn ist gleich dem Einsatz. Beim {\bf Martingale-System} verdoppelt 
man nach jedem verlorenen Spiel den Einsatz. Den Einsatz im ersten Spiel 
einer Verlust-Verlust-... -Gewinn-Serie bezeichnen wir mit $a_1$.
\begin{enumerate}
\item Welchen Gewinn $G$ erzielt man in einer Spielserie, bei der man $n$-mal 
hintereinander verliert und das $(n+1)$-te Spiel gewinnt?
\item Wieviel Geld muss man dabei haben, wenn man bei $a_0=100\,$\EUR{} 
siebenmal hintereinander verliert und das Spiel trotzdem fortsetzen 
m"ochte?
\item L"osen Sie die Teilaufgaben (a) und (b) f"ur ein Vervierfachen des 
Einsatzes nach jedem Verlust!
\end{enumerate}
{\bf Warnung!!} \parbox[t]{12cm}{
Mit dem Martingale-System kann man auf Dauer nicht gewinnen, 
da die Spielbanken H"ochsteins"atze festlegen. Man kann zwar viele kleine 
Gewinne erzielen, aber es kommt unweigerlich der Augenblick, bei dem man 
wegen des H"ochsteinsatzes nicht mehr verdoppeln kann und auf einen Schlag 
viel verliert! Die Gewinnquoten sowie die Mindest- und H"ochsteins"atze 
sind so aufeinander abgestimmt, dass man auf lange Zeit gesehen immer 
verliert, ganz gleich nach welchem System man spielt!
}\\
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Einsatz beim $k$-ten Spiel:\quad $\D a_k=a_1\cdot 2^{k-1}$\\
$\D G=a_{n+1}-\sum_{k=1}^{n}a_k=a_1$
\item $\D a_1\cdot\sum_{k=1}^{8}2^{k-1}=25\,500\,$\EUR
\item Einsatz beim $k$-ten Spiel:\quad $\D a_k=a_1\cdot 4^{k-1}$\\[1mm]
$\D G=a_{n+1}-\sum_{k=1}^{n}a_k=a_1\cdot\frac{2\cdot 4^{n}+1}{3}$\\
$\D a_1\cdot\sum_{k=1}^{8}4^{k-1}=2\,184\,500\,$\EUR
\end{enumerate}
}
