\ANG{
\begin{enumerate}
\item 
\EPSR{9cm}{10rr5252}{4cm}{}{
\PSFM{a}{$a$} \PSFM{h}{$h$} \PSFM{V}{$V_{\text{s}}$} \PSFM{r}{$r$} 
}{
Berechne das Volumen $V_{\text{s}}$ einer Kugelschicht (Kugelscheibe) mit
Kugelradius $r$, Abstand $a$ der Schicht vom Mittelpunkt und Dicke $h$ der
Schicht in der gezeichneten Lage (der Kugelmittelpunkt liegt au"serhalb der
Schicht). Verwende einen geeigneten Vergleichsk"orper.
}
\item 
\EPSR{9cm}{10rr5262}{4cm}{}{ 
\PSFM{T}{Kugelhaube} \PSFM{h}{$h$} \PSFM{Ah}{$V_{h}$}  
}{
Berechne als Spezialfall der gefundenen Formel das Volumen $V_{h}$ einer
Kugelhaube (Schicht bis zum Rand der Kugel, d.h. $a+h=r$). Dr"ucke das
Ergebnis nur durch $h$ und $r$ aus.
}
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item
\EPSR{4cm}{10rr5251}{9cm}{}{
\PSFM{a}{$a$} \PSFM{h}{$h$} \PSFM{r}{$r$} \PSFM{V}{$V_{\text{s}}$} 
\PSFM{ah}{$a+h$} \PSFM{Vk}{$V_{\text{k}}$} 
}{
Als Vergleichsk"orper w"ahlen wir einen Zylinder, aus dem ein Doppelkegel
gebohrt wurde (wie bei der Herleitung des Volumens der ganzen Kugel).

$V_{\text{z}}$ ist das Volumen eines Zylinders mit Radius $r$ und H"ohe $h$.
}\\[1mm]
$V_{\text{k}}$ ist das Volumen eines Kegelstumpfes, das sich aus der Differenz der
Volumina zweier Kegel (Radius $a+h$ und H"ohe $a+h$ bzw. Radius $a$ und H"ohe
$a$) berechnet:
\begin{align*}
V_{\text{s}} &= V_{\text{z}}-V_{\text{k}}=r^{2}\pi h-\left(
  \frac{\pi}{3}(a+h)^{3}- \frac{\pi}{3} a^{3}\right)=\\
 &= r^{2}\pi h-\frac{\pi}{3}\left(3a^{2}h+3ah^{2}+h^{3}\right)=\\
 &= \frac{\pi}{3}h\left(3r^{2}-3a^{2}-3ah-h^{2}\right)
\end{align*}
\item Mit $a=r-h$ folgt aus der Formel f"ur $V_{\text{s}}$:
\begin{align*}
V_{\text{h}} &=
\frac{\pi}{3}h\left(3r^{2}-3(r-h)^{2}-3(r-h)h-h^{2}\right)=\\
 &=\frac{\pi}{3}h\left(3rh-h^{2}\right)=\frac{\pi}{3}h^{2}(3r-h)
\end{align*}
\end{enumerate}
}
