\ANG{
%
%%\item
%
Bei der Rotation des im linken Bild schraffierten 
(rechtwinkligen) Dreiecks
um die vertikale Achse $a$ entsteht ein Ring.
\begin{enumerate}
\item
Begr"unden Sie $h=x$ und berechnen Sie die  Grundfl"ache des Rings.
\item
Zeigen Sie, dass f"ur sein Volumen
$V= \pi h^2  (r - \frac{1}{3}  h)$ gilt.
\item
Die Kugel (Ma"se vgl. Abb.) und der Ring werden in derselben H"ohe 
$y=r-h$ von einer horizontalen Ebene geschnitten.
Berechnen Sie  den Fl"acheninhalt der Schnittfigur in Abh"angigkeit von $r$ und $h$.
\item 
Begr"unden Sie ohne weitere Rechnung mit dem Satz von Cavalieri,
dass der schraffierte Teil der Kugel (genannt Kugelabschnitt) 
dasselbe Volumen hat, wie der Ring.
\end{enumerate}
Neben den Formeln f"ur Zylinder und Kegel darf noch die Formel
f"ur das Volumen eines Kegelstumpfs verwendet werden:
$
   V= {1 \over 3} \pi h (R^2 +rR +r^2)
$
$$
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <0.7mm,0.7mm> point at  0  0
\setplotarea x from -40 to 120, y from 0 to 50
% Kegel
\plot -40  0    -40  40    0   0    40  40   40  0 
        0  0    -40   0  /
\plot -40 25    -25  25  /
\plot  25 25     40  25  /
\plot   0 -9      0   0  /
\plot  40 -9     40   0  /
\plot  25 19     25  25  /

\betweenarrows {$r$} from   0 -8   to  40  -8 
\betweenarrows {$r$} from -44  0   to -44  40 
\betweenarrows {$y$} from  44  0   to  44  25 
\arrow <2mm> [0.375,0.75] from  44  36    to 44  40
\put {$h$} at 44 33
\arrow <2mm> [0.375,0.75] from  44  29    to 44  25
\arrow <2mm> [0.375,0.75] from  29  21    to 25  21
\put {$x$} at 32 21
\arrow <2mm> [0.375,0.75] from  36  21    to 40  21
%\betweenarrows {$h$} from  44 25   to  44  40
%\betweenarrows {$x$} from  25 20   to  40  20 
\setdashes 
\plot  -25 25    25  25  /
\plot  -40 40    40  40  /
\setshadegrid span <2 pt> 
\vshade 25 25 25 <,,1pt,1pt> 40 25 40 /
\put {$a$} at   3  43
% Kugel
\setsolid
\circulararc 180 degrees from  140  0  center at 100  0
\plot   60      0      140     0  /
\plot   68.78  25      131.23 25  /
\arrow <4mm> [0.372,0.75] from  100  0    to 68.78  25
\put {$r$} at 80 12 
\setquadratic
\vshade 68.78 25 25 <,z,1pt,1pt>   75 25 31.22  80      25 34.64
                    <z,z,1pt,1pt>  85 25 37.08  90      25 38.73
                    <z,,1pt,1pt>   95 25 39.67  100     25 40    /
\vshade 100 25 40   <,z,1pt,1pt>  105 25 39.67  110     25 38.73
                    <z,z,1pt,1pt> 115 25 37.08  120     25 34.64
                    <z,,1pt,1pt>  125 25 31.22  131.225 25 25 /
\setlinear
\setdashes
\plot 40 40  100     40 /
\plot 40 25   68.78  25 /
\plot 40  0   60      0 /
\setdashpattern <3mm, 0.5 mm, 0.5 mm, 0.5mm >
\plot  0   0    0   50  /
\plot  100 0  100   50  /
\endpicture  
$$
}
\LSG{\mbox{}
}
