\ANG{
%%\item
Von einem Zylinder (in der linken Abbildung liegend)
wird ein keilf"ormiges St"uck durch einen ebenen Schnitt abgetrennt.
Der Schnitt verl"auft durch einen Durchmesser der vorderen Kreisfl"ache
(im Bild lotrecht) und streift den Umfang der hinteren Kreisfl"ache.
Durchmesser und H"ohe des Zylinders stimmen "uberein und betragen 2 L"angeneinheiten.
Das Volumen des abgeschnittenen Keils soll berechnet werden.

Dazu denken wir uns wie in der Zeichnung ein Koordinatensystem am
Zylinder fixiert, die nicht eingezeichnete y-Achse ist die Symmetrieachse
des Zylinders und zeigt nach hinten. 

\begin{minipage}[t]{6cm}
 \beginpicture
     \setcoordinatesystem units <2 cm, 2cm> point at  0   2
     \setplotarea x from -1 to 1, y from -1 to 2  
     %\input 10in107.asc    
% Halbellipse
\setquadratic
\plot
      0      -1
   .119   -.959   .238   -.914
   .356   -.865   .472   -.812
   .587   -.757   .699   -.698
   .809   -.637   .915   -.573
  1.018   -.507  1.117   -.439
  1.211   -.369  1.301   -.298
  1.385   -.225  1.464   -.152
  1.537   -.078  1.605   -.004
  1.665    .071   1.72    .145
  1.767    .218  1.808    .291
  1.841    .362  1.867    .432
  1.886      .5  1.897    .566
  1.901     .63  1.897    .692
  1.886    .751  1.867    .807
  1.841    .859  1.808    .909
  1.767    .954   1.72    .996
  1.665   1.034  1.605   1.068
  1.537   1.098  1.464   1.123
  1.385   1.144  1.301    1.16
  1.211   1.172  1.117   1.179
  1.018   1.182   .915    1.18
   .809   1.173   .699   1.162
   .587   1.146   .472   1.125
   .356     1.1   .238   1.071
   .119   1.037  -.001    .999
 /
% Vordere Schnittkante
\setlinear
\plot
      0      -1      0       1 /
\setquadratic
% Vorderseite
\plot
      0       1
  -.063    .998  -.126    .992
  -.188    .982  -.249    .968
   -.31    .951  -.369    .929
  -.426    .904  -.482    .876
  -.536    .844  -.588    .809
  -.638     .77  -.685    .728
  -.729    .684  -.771    .637
   -.81    .587  -.845    .535
  -.877    .481  -.905    .425
   -.93    .368  -.952    .309
  -.969    .248  -.983    .187
  -.993    .125  -.999    .062
     -1   -.001  -.999   -.063
  -.993   -.126  -.983   -.188
  -.969   -.249  -.952    -.31
   -.93   -.369  -.905   -.426
  -.877   -.482  -.845   -.536
   -.81   -.588  -.771   -.638
  -.729   -.685  -.685   -.729
  -.638   -.771  -.588    -.81
  -.536   -.845  -.482   -.877
  -.426   -.905  -.369    -.93
   -.31   -.952  -.249   -.969
  -.188   -.983  -.126   -.993
  -.063   -.999      0      -1
 /
\setdots <0.6mm>
\plot
      0      -1
   .062   -.999   .125   -.993
   .187   -.983   .248   -.969
   .309   -.952   .368    -.93
   .425   -.905   .481   -.877
   .535   -.845   .587    -.81
   .637   -.771   .684   -.729
   .728   -.685    .77   -.638
   .809   -.588   .844   -.536
   .876   -.482   .904   -.426
   .929   -.369   .951    -.31
   .968   -.249   .982   -.188
   .992   -.126   .998   -.063
   .999       0   .998    .062
   .992    .125   .982    .187
   .968    .248   .951    .309
   .929    .368   .904    .425
   .876    .481   .844    .535
   .809    .587    .77    .637
   .728    .684   .684    .728
   .637     .77   .587    .809
   .535    .844   .481    .876
   .425    .904   .368    .929
   .309    .951   .248    .968
   .187    .982   .125    .992
   .062    .998  -.001       1
 /
\setsolid
% Rueckseite
\plot
  1.901     .63
    1.9    .674  1.897    .718
  1.892    .761  1.885    .804
  1.877    .847  1.866    .889
  1.854    .931   1.84    .972
  1.824   1.013  1.807   1.053
  1.788   1.092  1.767    1.13
  1.744   1.168   1.72   1.204
  1.694   1.239  1.667   1.273
  1.638   1.306  1.608   1.338
  1.576   1.368  1.543   1.396
  1.509   1.424  1.474    1.45
  1.438   1.474  1.401   1.496
  1.362   1.517  1.323   1.537
  1.283   1.554  1.243    1.57
  1.201   1.584  1.159   1.596
  1.117   1.607  1.074   1.615
  1.031   1.622   .988   1.627
   .944   1.629   .901    1.63
   .857   1.629   .813   1.627
    .77   1.622   .727   1.615
   .684   1.607   .642   1.596
     .6   1.584   .559    1.57
   .518   1.554   .478   1.537
   .439   1.517   .401   1.496
   .363   1.474   .327    1.45
 /
\setdots <0.6mm>
\plot
  1.901     .63
  1.897    .548  1.887    .467   1.87    .387  1.847    .308  1.818    .232  1.782    .158   1.74    .087  1.693     .02   1.64   -.043  1.583   -.101   1.52   -.154  1.454   -.202  1.384   -.245   1.31   -.282  1.234   -.312  1.156   -.336  1.076   -.354   .995   -.365   .913   -.369   .831   -.367   .749   -.358   .669   -.342    .59    -.32   .513   -.291   .439   -.257   .368   -.216     .3   -.169   .237   -.117   .178    -.06   .123    .001   .074    .067   .031    .136  -.006    .209  -.038    .285  -.063    .363  -.082    .443  -.094    .524  -.099    .606  -.098    .688   -.09     .77  -.075     .85  -.054    .929  -.026   1.007   .008   1.081   .048   1.153   .094   1.221   .145   1.285   .201   1.345   .262     1.4   .327    1.45 /
% Tangenten
\setlinear\setdots <0.6mm>
\plot
   .573    -.82  1.474   -.189 /
\setsolid\plot
  -.574    .819   .327    1.45 /
%Dreieck
\setsolid\plot
      0    .766   .642    .766  1.221   1.171      0    .766 /
\plot
   .642   -.051   .642     .05 /
\setdots <0.6mm> \plot
   .642    .766   .642       0 /
\setdots <0.6mm> \plot
  1.221   1.171  1.221    .405 /
\setdots <0.6mm> \plot
   .642       0  1.221    .405 /
\setsolid 
\put {$x_0$} [Bl] at 
   .542   -.201
\put {$z_0$} [Bl] at 
  -.201    .716
\put {$y_0$} [Bl] at 
   .832    .818
\plot
      1       0  1.901     .63      0       0 /
\arrow <2.5mm> [0.375,0.75] from 
      0       0 to 
      0       1
\arrow <2.5mm> [0.375,0.75] from 
      0       0 to 
      1       0
\put {$x$} [Bl] at 
   1.05   -.051
\put {$z$} [Bl] at 
  -.046   1.068
\plot
      2      -1      2       1      3       1      3      -1      2      -1 /
\plot
      2       1   2.45   1.315   3.45   1.315      3       1 /
\plot
   3.45   1.315   3.45   -.685      3      -1 /
\setdots <0.66mm>
\plot
      2      -1   2.45   -.685   3.45   -.685      3      -1 /
\plot
   2.45   1.315   2.45   -.685 /
\plot
   2.45   1.315      3      -1 /
\plot
   3.45   1.315      2      -1 /
\plot
      2       1   3.45   -.685 /
\plot
      3       1   2.45   -.685 /
\setsolid
\plot
      2    .766   2.45   1.081   3.45   1.081      3    .766      2    .766 /
\plot
  2.169    .802  2.514   1.044   3.28   1.044  2.935    .802  2.169    .802 /

\endpicture
\end{minipage}%

\begin{enumerate}
\item
Zeichne den Zylinder und die Schnittfl"ache von oben (Grundri"s) und
von vorne (Aufri"s).
\item
Eine horizontale Schnittfl"ache im Keil in der H"ohe $z_0$ 
hat die Form eines rechtwinkligen Dreiecks
(vgl. Abbildung) mit Katheten der L"ange $x_0$ und $y_0$. 
Zeichne das Dreieck in beide Risse ein. 
\item 
Zeige zun"achst $y_0=2x_0$, $x_0^2=1-z_0^2$ und begr"unde, dass  die
Dreiecksfl"ache den Inhalt $A=1-z_0^2$ hat.
\item
Der abgebildete Quader hat als  Grundfl"ache ein Quadrat 
der Seitenl"ange $1$ und die H"ohe $2$. Aus ihm  werden
zwei Pyramiden herausgefr"ast, deren gemeinsame Spitze 
der Quadermittelpunkt ist und die als  Grundfl"ache jeweils die Grund- bzw. 
die Deckfl"ache des Quaders haben.
Zeige: Die Inhalte der Schnittfl"achen in der H"ohe $z_0$ durch den Restk"orper 
bzw. durch den Keil stimmen "uberein.
\item
Begr"unde: Das Volumen des Keils betr"agt $V={4 \over 3}$. 
\end{enumerate}
}
\LSG{\mbox{}
}
