\ANG{
Nach der Reiskornlegende durfte der Erfinder des Schachspiels an den indischen Herrscher Shihram,
den das Spiel sehr erfreute, einen Wunsch richten. Er w\"{u}nschte sich, dass auf das erste Feld ein Reiskorn
gelegt wird, auf das zweite doppelt so viele Reisk\"{o}rner wie auf das erste, auf das dritte doppelt so viele
wie auf das zweite usw. Zun\"{a}chst l\"{a}chelte der Herrscher \"{u}ber die Bescheidenheit dieses Wunsches, etwas sp\"{a}ter wurde
er sehr zornig.

\begin{enumerate}
\item
Vervollst\"{a}ndigen Sie die nachstehende Tabelle:

%\setlength{\extrarowheight}{2pt}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
  \hline
 % \multirowcell{2}{Feldnummer}  & \multicolumn{2}{|c|}{K\"{o}rner auf Feld} & \multicolumn{2}{|c|}{K\"{o}rner auf Brett} \\
  Feld-- & \multicolumn{2}{|c|}{K\"{o}rner auf Feld} & \multicolumn{2}{|c|}{K\"{o}rner auf Brett} \\
  nummer & als Zahl & als 2--er Potenz & als Zahl & mit 2--er Potenz geschrieben\\ \hline\hline
  1 & \hspace{1.5cm} & \hspace{1.5cm} & \hspace{1.5cm} & \hspace{1.5cm} \\ \hline
  2 &   &   &   &   \\ \hline
  3 &   &   &   &   \\ \hline
  4 &   &   &   &   \\ \hline
  5 &   &   &   &   \\ \hline
  6 &   &   &   &   \\ \hline
  $\ldots$ & $\ldots$ & $\ldots$ & $\ldots$ & $\ldots$ \\ \hline
  63 &   &   &   &   \\ \hline
  64 &   &   &   &   \\ \hline
\end{tabular}
\item Reis hat eine Dichte von etwa $1{,}39\,\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm}^3}$.
      Zwanzig Reisk\"{o}rner haben etwa eine Masse von 1 Gramm. 

      Der vierachsige G\"{u}terwaggon UIC 571--2 hat eine L\"{a}nge \"{u}ber Puffer von $16{,}52\,\mathrm{m}$
      und einen Laderaum vom Volumen $105\,\mathrm{m}^3$. 

	  Ermitteln Sie die Mindestlänge eines aus solchen Waggons bestehenden Zuges, der den gesamten Reis, der
      sich auf dem Schachbrett befindet, transportieren kann.
\item Dieser Zug bewegt sich mit einer konstanten Geschwindigkeit von $100\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ an einem beschrankten Bahnübergang
      vorbei. Berechnen Sie die Zeit, die man dort warten muss, bis der Zug vorbeigefahren ist.
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item
Vervollst\"{a}ndige die nachstehende Tabelle:

%\setlength{\extrarowheight}{2pt}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
  \hline
%  \multirowcell{2}{Feldnummer} & \multicolumn{2}{|c|}{K\"{o}rner auf Feld} & \multicolumn{2}{|c|}{K\"{o}rner auf Brett} \\
  Feld-- & \multicolumn{2}{|c|}{K\"{o}rner auf Feld} & \multicolumn{2}{|c|}{K\"{o}rner auf Brett} \\
  nummer  & als Zahl & als 2--er Potenz & Zahl & mit einer 2--er Potenz geschrieben\\ \hline\hline
  1 & 1  & $2^0$ & 1 & $2^1-1$\\ \hline
  2 & 2  & $2^1$ & 3 & $2^2-1$\\ \hline
  3 & 4  & $2^2$ & 7 & $2^3-1$\\ \hline
  4 & 8  & $2^3$ & 15 & $2^4-1$\\ \hline
  5 & 16  & $2^4$ & 31 & $2^5-1$\\ \hline
  6 & 32  & $2^5$ & 63 & $2^6-1$\\ \hline
  $\ldots$ & $\ldots$ & $\ldots$ & $\ldots$ & $\ldots$ \\ \hline
  63 &   & $2^{62}$ &  & $2^{63}-1$  \\ \hline
  64 &   & $2^{63}$ &  & $2^{64}-1$  \\ \hline
\end{tabular}
\item Es befinden sich $2^{64}-1=18\,446\,744\,073\,709\,551\,615$ Reisk\"{o}rner auf dem Schachbrett. \\

      Diese haben eine Masse von etwa $m=922\,337\,203\,685\,477\,\mathrm{kg}$. \\

      Sie nehmen ein Volumen von $V=\frac{m}{\varrho}=\frac{922\,337\,203\,685\,477\,\mathrm{kg}}{1{,}39\cdot10^{3}\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}}\approx663\,551\,945\,097\,\mathrm{m}^{3}$
\\
      Daf\"{u}r brauchen wir $\frac{663\,551\,945\,097\,\mathrm{m}^{3}}{105\,\mathrm{m}^{3}}=6\,319\,542\,334$ Waggons. \\

      Diese haben eine L\"{a}nge von $6\,319\,542\,334\cdot16{,}52\,\mathrm{m}\approx104\,398\,839\,\mathrm{km}$. \\

      In Worten: Etwa 104 Millionen Kilometer. \\
\item Am Bahn\"{u}bergang muss man $\frac{104\,398\,839\,\mathrm{km}}{100\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}}\approx1\,043\,988\,\mathrm{h}\approx119\,\mathrm{a}$ warten.
\\
\end{enumerate}

Hinweis: Die Ergebnisse wurden mit einem Computeralgebra--System sehr genau berechnet. Selbstverst\"{a}ndlich k\"{o}nnen die Ergebnisse
auch unter Verwendung von 10--er--Potenzen formuliert werden.
}