\ANG{
{\bf Einfache Exponentialgleichungen lösen}
\begin{enumerate}
\item Die folgenden Rechnungen zur Lösung einer Exponentialgleichung enthalten jeweils einen Fehler:\\[1ex]
\begin{minipage}{4.5cm}
(1)
$4^x = 2 \cdot 2^{3x+2}$\\
$\Leftrightarrow 4^x = 2 \cdot 2^{3x} \cdot 2^2$\\
$\Leftrightarrow 4^x = 8\cdot \left(2^3\right)^x$\\
$\Leftrightarrow 4^x = 8\cdot 8^x$\\
$\Leftrightarrow 2^x = 8$\\
$\Leftrightarrow x = \mathrm{log}_2\left(8\right)$\\
$\Leftrightarrow x = 3$\\
\end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
(2)
$4^x = 2 \cdot 2^{3x+2}$\\
$\Leftrightarrow 4^x = 2^{3x+3}$\\
$\Leftrightarrow \mathrm{log}_4\left(4^x\right) = \mathrm{log}_4\left(2^{3x+3}\right)$\\
$\Leftrightarrow x = 3x + 3 \cdot \mathrm{log}_4 \left(2\right)$\\
$\Leftrightarrow x = 3x + 3 \cdot 0,5$\\
$\Leftrightarrow -2x = 1,5$\\
$\Leftrightarrow x = -0,75$\\
\end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
(3)
$4^x = 2 \cdot 2^{3x+2}$\\
$\Leftrightarrow \left(2^2\right)^x = 2^{3x+3}$\\
$\Leftrightarrow 2^{2x} = 2^{3x+3}$\\
$\Leftrightarrow \mathrm{log}_2\left(2^{2x}\right) = \mathrm{log}_2\left(2^{3x+3}\right)$\\
$\Leftrightarrow 2x = 3x + 3$\\
$\Leftrightarrow 5x = 3$\\
$\Leftrightarrow x = \frac 3 5$
\end{minipage}\\[1ex]\\
Verbessern Sie jeweils den Fehler und führen Sie die Rechnung richtig zu Ende.
\item Lösen Sie die folgenden beiden Exponentialgleichungen.\\
(1) $5^x = 7 \cdot 4^{x+1} \qquad \qquad \qquad $(2) $2 \cdot 8^x = 2^{2x}$
\end{enumerate}
}
\LSG{
{\bf Einfache Exponentialgleichungen lösen}
\begin{enumerate}
\item Korrekturen:\\
\begin{minipage}{4.5cm}
(1)
$4^x = 2 \cdot 2^{3x+2}$\\
$\Leftrightarrow 4^x = 2 \cdot 2^{3x} \cdot 2^2$\\
$\Leftrightarrow 4^x = 8\cdot \left(2^3\right)^x$\\
$\Leftrightarrow 4^x = 8\cdot 8^x$\\
$\Leftrightarrow \mathbf{\left(\frac 1 2 \right)^x = 8}$\\
$\Leftrightarrow x = \mathrm{log}_{\frac 1 2}\left(8\right)$\\
$\Leftrightarrow x = -3$\\
\end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
(2)
$4^x = 2 \cdot 2^{3x+2}$\\
$\Leftrightarrow 4^x = 2^{3x+3}$\\
$\Leftrightarrow \mathrm{log}_4\left(4^x\right) = \mathrm{log}_4\left(2^{3x+3}\right)$\\
$\Leftrightarrow \mathbf{x = \left(3x + 3\right)\cdot \mathrm{log}_4 \left(2\right)}$\\
$\Leftrightarrow x = 3x \cdot 0,5 + 3 \cdot 0,5$\\
$\Leftrightarrow -0,5x = 1,5$\\
$\Leftrightarrow x = -3$\\
\end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
(3)
$4^x = 2 \cdot 2^{3x+2}$\\
$\Leftrightarrow \left(2^2\right)^x = 2^{3x+3}$\\
$\Leftrightarrow 2^{2x} = 2^{3x+3}$\\
$\Leftrightarrow \mathrm{log}_2\left(2^{2x}\right) = \mathrm{log}_2\left(2^{3x+3}\right)$\\
$\Leftrightarrow 2x = 3x + 3$\\
$\Leftrightarrow -x = 3$\\
$\Leftrightarrow x = -3$
\end{minipage}
\item Lösungen:\\
\begin{minipage}{7cm}
(1) $5^x = 7 \cdot 4^{x+1}$\\
$\Leftrightarrow 5^x = 7 \cdot 4^x \cdot 4$\\
$\Leftrightarrow 5^x = 28 \cdot 4^x$\\
$\Leftrightarrow \left(\frac 5 4 \right)^x = 28$\\
$\Leftrightarrow x = \mathrm{log}_{\frac 5 4}\left(28 \right)$\\
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
(2) $2 \cdot 8^x = 2^{2x}$ \\
$\Leftrightarrow 2 \cdot 2^{3x} = 2^{2x}$\\
$\Leftrightarrow 2^{3x+1} = 2^{2x}$\\
$\Leftrightarrow \mathrm{log}_2\left(3x+1\right) = \mathrm{log}_2\left(2x\right)$\\
$\Leftrightarrow 3x+1 = 2x$\\
$\Leftrightarrow x = -1$\\
\end{minipage}
\end{enumerate}

}
