\ANG{
{\bf Modellieren eines realen Abnahmevorgangs}\\
Um den Bierschaumzerfall experimentell zu untersuchen, wurde Bier so in ein Bierglas 
eingeschenkt, dass eine 14cm hohe Schaumkrone entstand. Anschließend wurde in 
Abständen von einer Minute die Höhe des Schaums gemessen. Die folgende Tabelle zeigt die 
Messwerte; dabei steht t für die Zeit in Minuten nach dem Einschenken und h für die Höhe des 
Schaums in Zentimetern.\\[1ex]
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} 
t & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline
h & 14,0 & 11,0 & 8,5 & 6,5 & 5,0 & 4,0 & 3,0 & 2,0 & 1,4 & 1,1 & 0,8 \\
\end{tabular}\\[1ex]
Der Abnahmevorgang wird im Folgenden durch die in $\RR$ definierte Funktionen $f:t \mapsto b \cdot a^t$ mit $0< a <1$ und $b>0$ modellhaft beschrieben.\\
Zur Bestimmung des konkreten Funktionsterms werden zwei unterschiedliche Ansätze verwendet:\\
Ansatz I: $a = \frac {11,0}{14,0} \qquad \qquad \qquad \qquad$ Ansatz II: $a^{10} = \frac {0,8}{14,0}$
\begin{enumerate}
\item Erläutern Sie beide Ansätze und ermitteln Sie daraus jeweils einen Funktionsterm.
\item Berechnen Sie für beide Ansätze, um wie viel Prozent die durch die Modellierung erhaltene 
Höhe des Schaums fünf Minuten nach dem Einschenken vom gemessenen Wert abweicht.
\end{enumerate}
}
\LSG{
{\bf Modellieren eines realen Abnahmevorgangs}
\begin{enumerate}
\item Ansatz I:\\
Zur Berechnung des Abnahmefaktors a werden die ersten beiden Werte, die im Abstand 
von einer Minute gemessen wurden, verwendet.\\
$a = \frac {11}{14}$; $f(t) = 14 \cdot \left(\frac {11}{14}\right)^t$ \\
Ansatz II:
Zur Berechnung des Abnahmefaktors a werden der erste und der letzte Wert, die im 
Abstand von zehn Minuten gemessen wurden, verwendet.\\
$a^{10} = \frac {0,8}{14,0} \Leftrightarrow a = \sqrt[10]{\frac 2 {35}} \approx 0,751$;
$f(t) = 14 \cdot \left( \sqrt[10]{\frac 2 {35}}\right)^t$
\item Ansatz I:\\
$\Delta = \left| \frac{14 \cdot \left(\frac {11}{14}\right)^5 - 4,0 }{4,0}\right| \approx4,8 \%$\\
Ansatz II:\\
$\Delta = \left| \frac{14 \cdot \left(\sqrt[10]{\frac 2 {35}}\right)^5 - 4,0 }{4,0}\right| \approx16,3 \%$
\end{enumerate}
}