\ANG{
In einer Sch"ussel befinden sich zehn rote und zehn wei"se Kugeln. Es werden
zuf"allig drei Kugeln aus der Sch"ussel gezogen und in ein Glas gelegt.
\begin{enumerate}
\item Berechne mit Hilfe eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten
  folgender Ereignisse. Schreibe die Ereignisse auch in der Mengenschreibweise
  hin.  

\begin{tabular}[t]{ccl}
$E_{1}$&:&\GF{Im Glas sind drei rote Kugeln.}\\
$E_{2}$&:&\GF{Im Glas sind zwei rote und eine wei"se Kugel.}\\
$E_{3}$&:&\GF{Im Glas sind eine rote und zwei wei"se Kugeln.}\\
$E_{4}$&:&\GF{Im Glas sind drei wei"se Kugeln.}
\end{tabular}
\item Das beschriebene Zufallsexperiment wird f"unf mal ausgef"uhrt, wobei die
  drei Kugeln im Glas vor jedem Experiment wieder in die Sch"ussel gegeben
  werden. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist nie eine wei"se Kugel im Glas?
\item Wie viele rote Kugeln m"ussen sich vor jedem Experiment mindestens in der
  Sch"ussel befinden (Gesamtzahl der Kugeln immer noch zwanzig), damit die
  gesuchte Wahrscheinlichkeit aus Teilaufgabe (b) gr"o"ser als zehn Prozent
  ist? 
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item \EPSR{8cm}{09rr0581}{6cm}{}{
\PSFM{r}{r} \PSF{E}{Eva:} \PSFM{w}{w} \PSF{S}{Sissi:} 
\PSFM{12}{$\frac12$} \PSFM{10r9}{(10r,9w)} \PSFM{9r9}{(9r,9w)}  
\PSFM{10r8}{(10r,8w)} \PSFM{8r10}{(8r,10w)} \PSFM{9r10}{(9r,10w)} 
\PSFM{10r10}{(10r,10w)}
\PSFM{p1}{$\frac{9}{19}$} \PSFM{p2}{$\frac{10}{19}$} 
\PSFM{p3}{$\frac{8}{18}$} \PSFM{p4}{$\frac{10}{18}$} 
}{
$E_{1}=\left\{rrr\right\},\quad E_{2}=\left\{rrw,rwr,wrr\right\}$\\[2mm]
$E_{3}=\left\{rww,wrw,wwr\right\},\quad E_{4}=\left\{www\right\}$\\[2mm]
$\D P(E_{1})=\frac{1}{2}\cdot\frac{9}{19}\cdot\frac{8}{18}=
  \frac{2}{19}\approx 10{,}5\%$
\begin{align*}
P(E_{2})&=\frac{1}{2}\cdot\frac{9}{19}\cdot\frac{10}{18}+
\frac{1}{2}\cdot\frac{9}{19}\cdot\frac{1}{2}+
\frac{1}{2}\cdot\frac{9}{19}\cdot\frac{1}{2}=\\
&=3\cdot\frac{5}{38}=\frac{15}{38}\approx 39{,}5\%
\end{align*}
Aus Symmetriegr"unden gilt:\\[2mm]
$P(E_{3})=P(E_{2})$ und $P(E_{4})=P(E_{1})$.
}
\item $\D P(\text{\GF{nie wei"s}})=P(E_{1})^{5}=\left(\frac{2}{19}\right)^{5}=
\frac{32}{2\,476\,099}\approx 1{,}29\cdot 10^{-5}$
\item $x$ rote und $20-x$ wei"se Kugeln zu
  Beginn des Experiments:\\[2mm]
$\D P(E_{1})=\frac{x}{20}\cdot\frac{x-1}{19}\cdot\frac{x-2}{18}$,\qquad
$\D P(E_{1})^{5}>0{,}1\QDQ P(E_{1})>0{,}1^{\frac15}\approx 0{,}63$\\[2mm]
$x(x-1)(x-2)>0{,}63\cdot 20\cdot 19\cdot 18=4316$\\[2mm]
$17\cdot 16\cdot 15=4080$,\quad $18\cdot 17\cdot 16=4896\QDQ$ mindestens 18
rote Kugeln.
\end{enumerate}
}
