\ANG{
{\bf Einen Näherungswert für $\pi$ über den Kreisumfang bestimmen}\\
Ein Kreis vom Radius $r=1$ wird wie in der Abbildung von einem 
einbeschriebenen (Umfang $u_n$) und einem  umbeschriebenen 
(Umfang $U_n$) regelm"a"sigen n-Eck eingeschlossen. 
Die H"ohe des Dreiecks $ABM$ wird mit $a_n=\overline{MF}$ bezeichnet. 

\begin{minipage}[t]{5cm}
Ferner gelten folgende Beziehungen:
\begin{itemize}
   \item{$a_{2n}=\sqrt{\D 1+a_n\over \D 2}$}
   \item{$u_{2n}={\D u_n \over \D a_{2n}}$}
   \item{$U_{2n}={\D u_{2n} \over \D a_{2n}}$}
\end{itemize}
\end{minipage}
\hskip0.5 cm
\begin{minipage}[t]{5cm}
\beginpicture
%linkes Bild
\setcoordinatesystem units <17.5mm,17.5mm> point at 0 1.2
\setplotarea x from -1.2 to 1.2, y from -1.2 to 1.2
\circulararc 360 degrees from 0 1 center at 0 0

% Einbeschriebenes 7-Eck
\plot   1   0    0.623  0.782 
                -0.223  0.975
                -0.901  0.434
                -0.901 -0.434
                -0.223 -0.975 
                 0.623 -0.782   1  0 /
% Umbeschriebenes 7-Eck
\plot   1.11   0    0.691  0.868 
                   -0.248  1.082
                   -1.000  0.482
                   -1.000 -0.482
                   -0.248 -1.082 
                    0.691 -0.868   1.11  0 /
\plot     0   0      1.11        0     /
\plot     0   0      0.691       0.868 /
\plot     0   0      0.9         0.434 /

\endpicture
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{5cm}
% rechtes Bild
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <35mm,35mm> point at 0 1.0
\setplotarea x from 0 to 1.2, y from -0.1 to 1.05
\inboundscheckon
\circulararc 100 degrees from 0.900 -0.434 center at 0 0
% Einbeschriebenes 7-Eck
\plot  0.812 -0.391        1   0    0.623  0.782 
                  0.200  0.879 /
%                -0.901 -0.434
%                -0.223 -0.975 
%                 0.623 -0.782   1  0 /
% Umbeschriebenes 7-Eck
\plot  0.900 -0.434   1.11   0    0.691  0.868 
                  0.222  0.975    /
%                -1.000  0.482
%                -1.000 -0.482
%                -0.248 -1.082 
%                 0.691 -0.868   1.11  0 /
\plot     0   0      1.11        0     /
\plot     0   0      0.691       0.868 /
\plot     0   0      0.9         0.434 /
\put {$a_n$} at 0.6  0.35
%\put {$s_n$} at 0.65 0.55
%\put {$t_n$} at 0.85 0.69
\put {M}  at -0.1      0.1
\put {A}  at  0.9      0.1
\put {A'} at  1.15     0.1
\put {B}  at  0.5      0.75
\put {B'} at  0.7      0.95
\put {F}  at  0.7      0.44
\put {F'} at  0.95     0.5

\endpicture
\end{minipage}

$$
\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|} \hline
      &   A  & B  &  C    &  D  \\ \hline\hline
1     & \hbox to 2cm  {\hfill $n$  \hfill}
      & \hbox to 2 cm {\hfill $a_n$\hfill}
      & \hbox to 2 cm {\hfill $u_n$\hfill}
      & \hbox to 2 cm {\hfill $U_n$\hfill}   \\ \hline
2 &  6   & 0.86602    &  6.00000   &        \\ \hline
3 &  12  &                      &      &        \\ \hline
4 &  24  &                      &      &        \\ \hline
% 5 & 48  &                      &      &        \\ \hline
% 6 & 96  &                      &      &        \\ \hline
\end{tabular}
$$
\begin{enumerate}
\item
Die obenstehende Tabelle stellt einen Blattausschnitt eines
Tabellenkalkulationsprogramms dar. Berechnen Sie die Werte in den leeren Zellen mit Hilfe 
eines Taschenrechners und tragen Sie sie in die Tabelle ein.
\item
Geben Sie nun für die Felder D2, B3 und C3 jeweils eine Formel an,
mit der das Tabellenkalkulationsprogramm den entsprechenden Wert berechnen kann.
\item
Ermitteln Sie mit Hilfe einer Tabellenkalkulation $u_n$ und $U_n$ für
$n = 96$.

\end{enumerate}

}
\LSG{
{\bf Einen Näherungswert für $\pi$ über den Kreisumfang bestimmen}\\
\begin{enumerate}
\item
$$
\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|} \hline
      &   A  & B  &  C    &  D  \\ \hline\hline
1     & \hbox to 2cm  {\hfill $n$  \hfill}
      & \hbox to 2 cm {\hfill $a_n$\hfill}
      & \hbox to 2 cm {\hfill $u_n$\hfill}
      & \hbox to 2 cm {\hfill $U_n$\hfill}   \\ \hline
2 &  6   & 0.86602    &  6.00000   &   6.928246461  \\ \hline
3 &  12  & 0.965924428 & 6.211666077 & 6.430799241 \\ \hline
4 &  24  & 0.991444509 & 6.265268527 & 6.31933353 \\ \hline
% 5 & 48  & 0.997858835 & 6.278712287 & 6.292184893 \\ \hline
% 6 & 96  & 0.999464565 & 6.282075928 & 6.285441371 \\ \hline
\end{tabular}
$$
\item D2: =C2/B2 $\qquad$ B3: =WURZEL((1+B2)/2) $\qquad$ C3: =C2/B3
\item
$$
\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|} \hline
      &   A  & B  &  C    &  D  \\ \hline\hline
1     & \hbox to 2cm  {\hfill $n$  \hfill}
      & \hbox to 2 cm {\hfill $a_n$\hfill}
      & \hbox to 2 cm {\hfill $u_n$\hfill}
      & \hbox to 2 cm {\hfill $U_n$\hfill}   \\ \hline
2 &  6   & 0.86602    &  6.00000   &   6.928246461  \\ \hline
3 &  12  & 0.965924428 & 6.211666077 & 6.430799241 \\ \hline
4 &  24  & 0.991444509 & 6.265268527 & 6.31933353 \\ \hline
5 & 48  & 0.997858835 & 6.278712287 & 6.292184893 \\ \hline
6 & 96  & 0.999464565 & 6.282075928 & 6.285441371 \\ \hline
\end{tabular}
$$
\end{enumerate}
}
