\ANG{
{\bf Einen Näherungswert von $\pi$ mit der Monte-Carlo-Methode}\\[1ex]
\begin{minipage}{11cm}
Die Abbildung zeigt ein Quadrat der Seitenlänge 1, in dem ein 
Viertelkreis mit Radius 1 liegt. Von N Punkten, die zufällig 
gleichmäßig in das Quadrat verteilt werden, liegen K Punkte 
innerhalb des Viertelkreises.
\begin{enumerate}
\item Erläutern Sie, inwiefern $4 \cdot \frac K N$ ein Näherungswert für 
die Kreiszahl $\pi$ ist.
\end{enumerate}
Für die oben beschriebene Monte-Carlo-Simulation kommt ein 
Tabellenkalkulationsprogramm zum Einsatz.
\end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
    \includegraphics[width=1\linewidth]{10rr1020KE04_1b.png}
\end{minipage}
}
\begin{enumerate}\addtocounter{enumii}{1}
\item Im abgebildeten Tabellenblatt wird das zufällige Verteilen 
der Punkte im Quadrat simuliert und es werden 
Informationen zu den Punkten verwaltet.
\begin{center}
\includegraphics[width=9cm]{10rr1020KE04_1c.png}
\end{center}
Für die x- und y-Koordinaten der Punkte werden in den Spalten A und B jeweils 
Zufallszahlen zwischen 0 und 1 erzeugt. In Spalte C wird der Abstand des jeweiligen Punkts zum Koordinatenursprung berechnet. In Spalte D steht das Ergebnis der Prüfung, ob der Punkt innerhalb des Viertelkreises liegt.\\
Geben Sie eine passende Formel für die Zelle C2 an. Nennen Sie ein Kriterium, mit dem entschieden werden kann, ob in der Zelle D2 „ja“ oder „nein“ erscheint.
\item Neues Tabellenblatt:\\
\begin{minipage}{7cm}
In einem anderen Tabellenblatt wird aus 
den Informationen zu den Punkten für 
N = 10, N = 100 und N = 1000 jeweils 
die zugehörige Anzahl K ermittelt (vgl. 
Abbildung).
\end{minipage}
\begin{minipage}{5mm}
\phantom{X}
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
\includegraphics[width=\linewidth]{10rr1020KE04_1d.png}
\end{minipage}\\[1ex]
Geben Sie für die Zelle C2 eine Formel 
mit relativen Zellbezügen an, mit der aus 
den Werten von N und K in Zeile 2 ein Näherungswert für $\pi$ berechnet werden kann.\\
Geben Sie die Näherungswerte für $\pi$ an, die sich (nach entsprechendem Kopieren der 
Formel) in den Zellen C2, C3 und C4 ergeben.
\end{enumerate}

\LSG{
{\bf Einen Näherungswert von $\pi$ mit der Monte-Carlo-Methode}
\begin{enumerate}
\item Je größer der Wert von N ist, desto mehr nähert sich $\frac K N$ dem Quotienten der Flächeninhalte von Viertelkreis und Quadrat an. Dieser Quotient hat den Wert $\frac{\frac 1 4 \cdot 1^2\cdot \pi}{1}=\frac 1 4 \pi$. Somit nähert sich $4 \cdot \frac K N$ der Zahl $\pi$ an.
\item Formel in Zelle C2: =WURZEL(A2\^{}2+B2\^{}2)\\
Wenn der mit dieser Formel berechnete Abstand des Punkts vom Koordinatenursprung 
kleiner als 1 ist, liegt der Punkt innerhalb des Viertelkreises, andernfalls nicht.
\item Formel in Zelle C2: =4*B2/A2\\
C2: 2,8; C3: 3,08; C4: 3,096
\end{enumerate}
}