\ANG{
Zwei gleiche Prismen mit gleichschenklig-rechtwinkliger Grundfl"ache,
deren Basis 6\,cm lang ist, werden so zusammengeklebt, dass ein
vierseitiges Prisma mit quadratischer Grundfl"ache entsteht.
Die Oberfl"ache dieses neuen Prismas ist um 84\,cm$^2$ kleiner als
die Oberfl"ache der zwei dreiseitigen Prismen zusammen.\\
Berechnen Sie die H"ohe der Prismen.
}
\LSG{
Bezeichnungen für das Prisma mit der dreieckigen Grundfläche: \\
$G_D$ (Grundfläche), $M_D$ (Mantelfläche), $O_D$ (Oberfläche) \\
Bezeichnungen für das Prisma mit der quadratischen Grundfläche: \\
$G_Q$ (Grundfläche), $M_Q$ (Mantelfläche), $O_Q$ (Oberfläche) \\ \\
Skizze der jeweiligen Grundflächen mit Außenmaßen: \\ 
\includegraphics[width=10cm]{08ma009_a.png}\\ \\
$G_D = \frac 1 2 \cdot \left( \frac 6 {\sqrt 2} \right)^2 \approx 2,12$ \\
$M_D = 6 \cdot h + 2 \cdot \left( \frac 6 {\sqrt 2} \right) \cdot h = \left( 6 + \sqrt 2 \cdot 6 \right) \cdot h \approx 14,49 \cdot h$ \\
$O_D \approx 2 \cdot 2,12 + 14,49 h = 4,24 + 14,49 h$ \\ \\
$G_Q = \left( \frac 6 {\sqrt 2} \right)^2 = 4,24$ \\
$M_Q = 4 \cdot \left( \frac 6 {\sqrt 2} \right) \cdot h \approx 16,97 h$ \\
$O_Q \approx 2 \cdot 4,24 + 16,97 \cdot h = 8,48 + 16,97 \cdot h$ \\ \\
$2 O_D - O_Q = 8,48 + 28,98 h - (8,48 +16,97 h) \approx 12 h$ \\
$h = \frac {84}{12} = 7$ \\  
Die Prismen haben ein Höhe von $h \approx 7\,cm$
}
