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\ANG{
{\bf Hei"sluftballon}

\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{15im006p1} 
\end{center}

Viel hei"se Luft bringt einen mit Sicherheit nach oben. Niemand wei"s das besser 
als Ian Ashpole. Der $43$-J"ahrige stand in England auf der Spitze eines 
Hei"sluftballons. Die Luft-Nummer in $1500$ Meter H"ohe war noch der 
ungef"ahrlichste Teil der Aktion. Kritischer war der Start: Nur durch ein Seil 
gesichert, musste sich Ashpole auf dem sich f"ullenden Ballon halten. Bei der 
Landung str"omte dann die hei"se Luft aus einem Ventil direkt neben seinen 
Beinen vorbei. Doch au"ser leichten Verbrennungen trug der Ballonfahrer keine 
Verletzung davon.
\begin{enumerate}
\item Ermitteln Sie das Volumen der Luft in diesem Hei"sluftballon.
\item Schätzen Sie die Fläche Stoff ab, die man zur Herstellung dieses Ballons benötigte.
\end{enumerate}
}

Quelle: Herget, W. et al.: Produktive Aufgaben

\LSG{
Je mehr man mathematisch vorgebildet ist, umso mehr mathematisches 
Instrumentarium wird man bei dieser Aufgabe wie selbstverst"andlich einsetzen - 
und zwar ohne dar"uber nachzudenken, ob diese hoch genauen Instrumente wirklich 
genauere Ergebnisse liefern. So k"onnte man hier den Hei"sluftballon sehr 
genau modellieren, etwa durch eine obere Halbkugel und einen zylindrischen 
Kegel. In der Analysis bietet sich die Interpretation als Rotationsk"orper an, 
wobei der Fantasie f"ur die zugrunde gelegte Kurve (fast) keine Grenzen gesetzt 
sind - hoffentlich ist das Integral dann elementar l"osbar; und wenn nicht, 
k"onnte man es schlie"slich noch numerisch l"osen. Aber es geht (auch) hier 
einfacher: In jedem Fall ist man darauf angewiesen, die Ma"se des Ballons aus 
dem Foto zu entnehmen und in die Wirklichkeit hochzurechnen 
(Proportionen/Verh"altnis/Dreisatz). Einziger Bezugspunkt daf"ur ist wohl der 
Mann auf der Spitze des Ballons. Daraus ergibt sich f"ur die H"ohe des Ballons 
(ohne Gondel) und ebenso f"ur seine Breite etwa $20-25\,\mathrm{m}$. Bei dieser 
unvermeidbaren Unsch"arfe sind solch feinsinnige Modellierungen wie die oben 
aufgef"uhrten schlichtweg "`oversized"'.\\
Ein ganz einfaches Modell leistet schon das Gew"unschte: Etwa ein W"urfel, den 
wir uns "`nach Augenma"s"' so vorstellen, dass er an den Ecken "uber den Ballon 
herausragt, seine Seitenfl"ache aber teilweise in den Ballon "`hineintauchen"' - 
oder eine entsprechend dimensionierte Kugel als geeignete "`Ersatz-Form"' f"ur 
den Ballon.\\
Auf diese Weise kann man als gute N"aherung einen W"urfel mit einer Kantenl"ange 
von 16m w"ahlen oder eine Kugel mit einem Durchmesser von etwa $20\,\mathrm{m}$. 
Das Volumen des W"urfels ist besonders einfach: $V = 4096\,\mathrm{m^{3}}$ und 
f"ur die Kugel erhalten wir \\
$V=\frac{4\pi}{3}\cdot 10 \approx 4180\,\mathrm{m^{3}}$.\\
Beide Modelle liefern f"ur das Volumen also rund $4000\,\mathrm{m^{3}}$, das 
sind $4$ Millionen Liter, und f"ur die Oberfl"ache ungef"ahr $1500\,\mathrm{m^{2}}$ 
- mit wenig Rechnung, aber geschickten, der Situation angepassten "Uberlegungen!
}
