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\ANG{
{\bf Stehaufmännchen}

Ein $11\,\mathrm{cm}$ hohes Stehaufm"annchen besteht aus einer Halbkugel von 
$4\,\mathrm{cm}$ Radius und einem aufgesetzten Kegel. Beide Teile sind aus dem 
gleichen Material.
\begin{enumerate}
\item Berechnen Sie den Rauminhalt des Stehaufmännchens.
\item Ermitteln Sie den Anteil des Rauminhaltes, der sich unterhalb des Kugelmittelpunktes befindet.
\item Damit ein Stehaufm"annchen funktioniert, darf der aufgesetzte Kegel 
h"ochstens so schwer sein wie die Halbkugel. Entscheiden Sie, ob das für das angegebene Stehaufmännchen gilt.
\item Ermitteln Sie die maximale Höhe eines Stehaufmännchens mit einem Radius von $4\,\mathrm{cm}$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\includegraphics[width=3cm]{15im032p1} 
\end{center}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item H: Halbkugel; K: Kegel; \\
$V = V_H + V_K = \frac 1 2 \cdot \frac 4 3 \cdot \pi r^3 + \frac 1 3 \cdot \pi r^2 \cdot h = \frac 2 3 \pi \cdot 64 + \frac 1 3 \cdot \pi \cdot 16 \cdot (11 - 4)$\\ \\
$V \approx 134,04 + 117,29 = 251,33$ \\
Das Stehaufmännchen besitzt einen Rauminhalt von etwa $251\,\rm{cm}^3$.
\item
$\frac {V_H}{V_H+V_K} = 0,53$. Der untere Teil macht etwa 53 \% des gesamten Volumens aus.
\item
Da der untere Teil etwas mehr als die Hälfte des Volumens (der Masse) besitzt, funktioniert dieses Stehaufmännchen.
\item
$V_K = V_H = \frac 2 3 \pi \cdot 64 = \frac 1 3 \pi 16 \cdot (h - 4)$ \\
$\frac 2 {16} \cdot 64 = h - 4$ \\
$\frac {64}{8} = h - 4$ \\
$8 = h-4$ \\
$h = 12$ \\
Ab einer Höhe von $12\,\rm{cm}$ ist ein Stehaufmännchen mit Radius $4\,\rm{cm}$ nicht mehr funktionsfähig.

\end{enumerate}
}
