\ANG{
Kugelvolumen nach Archimedes \\
\EPSBASIS{10rr1050KE07_1a.png}{14cm}{}{}\\
Die Abbildung zeigt ein Mobile mit einer Kugel, einem Kreiskegel und einem Zylinder. Das Mobile ist für jedes $a > 0$ und jedes $r > 0$ im Gleichgewicht, wenn alle dargestellten Körper aus dem gleichen Material bestehen.
\begin{enumerate}
\item Geben Sie das Volumen des dargestellten Kreiszylinders (rechte Seite) und des dargestellten Kreiskegels (linke Seite) in Abhängigkeit von r an.
\item 
Wenn das Mobile im Gleichgewicht ist, dann gilt (Hebelgesetz):
\begin{align*}
2 \cdot \left( V_{Kugel} + V_{Kegel} \right) = 1 \cdot V_{Zylinder}    
\end{align*}
Ermitteln Sie daraus den Term für das Volumen der Kugel.
\end{enumerate}
}\LSG{
\begin{enumerate}
\item 
$V_{Zylinder} = G \cdot h = \pi (2r)^2 \cdot 2 r = 8 \, \pi \, r^3$ \\
$V_{Kegel} = \frac 1 3 G \cdot h = \frac 1 3 \cdot \pi r^2 \cdot 2 r = \frac 8 3 \, \pi \, r^3$ \\
\item 
\begin{align*}
2 \cdot \left( V_{Kugel} + V_{Kegel} \right) &= 1 \cdot V_{Zylinder} \\
2 V_{Kugel} + 2 V_{Kegel} &= V_{Zylinder} \\
2 V_{Kugel} &= V_{Zylinder} - 2 V_{Kegel}\\
V_{Kugel} &= \frac 1 2 V_{Zylinder} - V_{Kegel} \\
V_{Kugel} &= \frac 1 2 \cdot 8 \, \pi \, r^3 - \frac 8 3 \, \pi \, r^3 \\
V_{Kugel} &= 4 \, \pi \, r^3 - \frac 8 3 \, \pi \, r^3 \\
V_{Kugel} &= \left(\frac {12} 3 - \frac 8 3 \right) \pi \, r^3 = \frac 4 3 \, \pi \, r^3
\end{align*}
\end{enumerate}
}