\ANG{
{\bf Oberflächeninhalt und Volumen eines geraden Kreiskegels} \\
    
\begin{enumerate}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
    \item Die Abbildung zeigt das Netz eines Kegels. Beschreiben Sie die Lage der Punkte M und S am Kegel und berechnen Sie die Höhe h des 
	Kegels und den Sektorwinkel $\alpha;$ der Mantelfläche, wenn r = 1\,cm und m = 3\,cm ist. Runden Sie dabei ggf. auf eine Nachkommastelle.    
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.05\textwidth}
$\qquad$
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
\includegraphics[width=0.6\linewidth]{10rr1050KE05_1a.png}
\end{minipage}
\item 
Im Folgenden werden für zwei weitere Kegel $\rm{K_1}$ und $\rm{K_2}$ die Werte von Grundflächenradius r, Kegelhöhe h, Mantellinienlänge m, Oberflächeninhalt O, Volumen V und Sektorwinkel $\rm{\alpha}$ der Mantelfläche betrachtet. Berechnen Sie die in der Tabelle fehlenden Werte. \\
\\
\renewcommand{\arraystretch}{1.75}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
 & r & h & m & O & V & $\rm{\alpha}$ \\ \hline
$K_1$ & & 4 & $\qquad \qquad$ & & $\frac {16} 3 \, \pi$ & \\ \hline
$K_2$ & $\qquad \qquad $ & $\qquad \qquad $ & 5 & $24 \, \pi$ & $\qquad \qquad$  & $\qquad \qquad$ \\ \hline
\end{tabular} \\
\item 
Entscheiden Sie jeweils durch Ankreuzen, welche Aussage richtig ist. \\
Bei gleichbleibender Höhe und zunehmendem Radius der Grundfläche gilt: \\
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\setlength{\tabcolsep}{1mm}
\begin{tabular}{llll}
Der Sektorwinkel $\alpha$ der Mantelfläche wird&
$\Box$ kleiner & 
$\Box$ nicht verändert& 
$\Box$ größer \\

Die Länge m der Mantellinie wird&
$\Box$ kleiner & 
$\Box$ nicht verändert& 
$\Box$ größer \\
\end{tabular} \\ \\
Bei gleichbleibender Grundfläche und zunehmender Höhe des Kegels gilt: \\
\begin{tabular}{llll}
Der Sektorwinkel $\alpha$ der Mantelfläche wird&
$\Box$ kleiner & 
$\Box$ nicht verändert& 
$\Box$ größer \\

Sie Länge m der Mantellinie wird&
$\Box$ kleiner & 
$\Box$ nicht verändert& 
$\Box$ größer \\
\end{tabular}

\end{enumerate}
} 
\LSG {
\begin{enumerate}
\item 
M ist der Mittelpunkt der kreisförmigen Grundfläche, S ist die Spitze des Kegels. 
Mit den aus der Abbildung entnommenen Maßen m=3 cm  und r=1 cm erhält man: \\
$m^2 = r^2 + h^2 \Leftrightarrow h = \sqrt{m^2-r^2} = \sqrt{\left(3\,\rm{cm}\right)-\left(1\,\rm{cm}\right)} \approx 2,8\,\rm{cm}$ \\
$\alpha = \frac r m \cdot 360^o = \frac {1\,\rm{cm}}{3\,\rm{cm}}\cdot 360^0 = 120^o$

\item 
Berechnungen für $\rm{K_1}$: \\ 
$V = \frac 1 3 \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h \Leftrightarrow
r^2 = \frac {3\,V}{\pi \cdot h} \Leftrightarrow
r = \sqrt{\frac {3 \cdot \frac {16} 3 \cdot \pi}{\pi \cdot 4}}
  = \sqrt{\frac {16}{4}} = \sqrt 4 = 2$ \\ 
$m^2 = r^2+h^2 \leftrightarrow m = \sqrt{r^2+h^2} 
     = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2 \sqrt 5$ \\ 
$O = \pi \cdot r \cdot \left(r + m \right) = 2\pi \cdot \left(2 + 2 \sqrt 5 \right) = 4 \pi \left(1 + \sqrt 5\right)$ \\ 
$\alpha = \frac r m \cdot 360^o = \frac 2 {2\sqrt 5} \cdot 360^o
  = \left( 72 \sqrt 5\right)^o \approx 161^o$ \\ \\
  Berechnung für $\rm{K_2}$: \\ 
$O= \pi \cdot r \cdot \left(r+m\right) = \pi r^2 + \pi \, m \cdot r \Leftrightarrow 24\pi = \pi r^2+ \pi \cdot 5 r \Leftrightarrow
24 = r^2+5r$\\
$\Leftrightarrow r^2+5r-24 = 0\Leftrightarrow r=3 \lor (r=-8)$ \\
$m^2 = r^2 + h^2 \Leftrightarrow h = \sqrt{m^2-r^2} = \sqrt{5^2-3^2} = 4$ \\ 
$V= \frac 1 3 \cdot G \cdot h = \frac 1 3 \cdot \pi \cdot 3^2 \cdot 4 = 12 \pi$ \\
$\alpha = \frac r m \cdot 360^o = \frac 3 5 \cdot 360^o = 216^o$
\item 

Bei gleichbleibender Höhe und zunehmendem Radius der Grundfläche gilt: \\
\begin{tabular}{llll}
Der Sektorwinkel $\alpha$ der Mantelfläche wird&
$\Box$ kleiner & 
$\Box$ nicht verändert& 
$\boxtimes$ größer \\

Die Länge m der Mantellinie wird&
$\Box$ kleiner & 
$\Box$ nicht verändert& 
$\boxtimes$ größer \\
\end{tabular} \\ \\
Bei gleichbleibender Grundfläche und zunehmender Höhe des Kegels gilt: \\
\begin{tabular}{llll}
Der Sektorwinkel $\alpha$ der Mantelfläche wird&
$\boxtimes$ kleiner & 
$\Box$ nicht verändert& 
$\Box$ größer \\

Die Länge m der Mantellinie wird&
$\Box$ kleiner & 
$\Box$ nicht verändert& 
$\boxtimes$ größer \\
\end{tabular}

\end{enumerate}
}