\ANG{
{\bf Volumen und Oberflächeninhalt von Pyramiden bestimmen} \\ \\
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
In der Abbildung ist ein Teraeder ABCD mit der Kantenlänge 1 dargestellt.
\begin{enumerate}
\item Zeichnen Sie ein Netz des Tetraeders. Verwenden Sie dabei die Längeneinheit 3\,cm.
\item Geben Sie die Anzahl der Kanten und die Anzahl der Ecken des
Tetraeders an.
\item Ermitteln Sie den Oberflächeninhalt des Tetraeders.
\end{enumerate} 
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{10rr1050KE04_1a.png}
\end{minipage}
\begin{enumerate}\addtocounter{enumii}{3}
\item Die Höhen des Dreiecks ABC schneiden sich in einem Punkt F, der jede der Höhen im Verhältnis 2:1 teilt. Begründen Sie mit Hilfe dieser Information die Gültigkeit der Gleichung $1^2 = h^2 + \left(\frac 2 3 \cdot \frac 1 2 \sqrt 3 \right)^2$ und berechnen Sie damit die Höhe h des Tetraeders.
\item Berechnen Sie das Volumen des Tetraeders.
\end{enumerate}
 
}\LSG{
\begin{enumerate}
    \item Netz des Tetraeders: \\
    \includegraphics[width=6cm]{10rr1050KE04_1b.png}
    \item Anzahl der Kanten: 6; Anzahl der Ecken: 4;
    \item Länge einer Höhe im gleichseitigen Dreieck ABC: 
    $h = \sqrt{1^2-\left(\frac 1 2 \right)^2} = \sqrt{\frac 3 4} = \frac 1 2 \sqrt 3$ \\ (nach dem Satz des Pythagoras)\\
    Flächeninhalt des Dreiecks ABC: 
    $A = \frac 1 2 \cdot 1 \cdot \frac 1 2 \sqrt 3 = \frac 1 4 \sqrt 3$ \\
    Oberflächeninhalt des Tetraeders: $O = 4 \cdot A = 4 \cdot \frac 1 4 \sqrt 3 = \sqrt 3$
    \item Mit dem angegebenen Teilverhältnis von 2:1 ergibt sich $\left| \overline{CF} \right| = \frac 2 3 \cdot \frac 1 2 \sqrt 3$. Da das Dreieck CDF bei F einen rechten Winkel hat, ergibt sich mithilfe des Satzes von Pythagoras die angegebene Gleichung. Für die Höhe des Tetraeders gilt somit: \\
    $h = \sqrt{1-\left( \frac 2 3 \cdot \frac 1 2 \sqrt 3\right)^2}
     = \sqrt{1 - \left( \frac 1 3 \sqrt 3 \right)^2} = \sqrt{\frac 2 3 } = \frac 1 3 \sqrt 6$
     \item $\frac 1 3 \cdot \frac 1 4 \sqrt 3 \cdot \frac 1 3 \sqrt 6 = \frac 1 {12} \sqrt 2$
\end{enumerate}

}