\ANG{
{\bf Rotationskörper} 
\begin{enumerate}
\item Betrachtet wird folgende Aussage: \\
\emph{Wenn man ein beliebiges Dreieck um eine seiner Seiten rotieren lässt, dann entsteht ein gerader Kreiskegel.} \\
Widerlegen Sie dieses Aussage anhand einer Skizze und geben Sie an, welche Voraussetzungen erfüllt sein müssen, damit sich als 
Rotationsfigur tatsächlich ein gerader Kreiskegel ergibt.
\item Rotierender Halbkreis \\ 
\begin{minipage}{0.6\textwidth} \vspace*{3mm}
Ermitteln Sie, jeweils auf eine Nachkommastelle genau, den Oberflächeninhalt und das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn der rechts abgebildete Halbkreis mit Durchmesser 4 um die Gerade g rotiert. 
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
\includegraphics[width=4cm]{10rr1050KE02_1a.png}
\end{minipage}
\item Betrachtet werden verschiedene Körper, die durch Rotation eines Rechtecks mit den Seitenlängen 8 und 2 entstehen. 
\begin{enumerate}
\item Ermitteln Sie den Oberflächeninhalt und das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn das Rechteck um eine seiner beiden längeren Seiten rotiert.
\item Nun wird das Volumen des Körpers betrachtet, der bei der Rotation des Rechtecks um eine seiner beiden kürzeren Seiten entsteht. Entscheiden Sie ohne Berechnung dieses Volumens, ob es größer, kleiner oder gleich groß wie das in (i.) ermittelte Volumen ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung.
\item Das Rechteck rotiert nun um eine Achse, die parallel zu einer der beiden längeren Rechteckseiten im Abstand 1 verläuft. Skizzieren Sie den entstehenden Körper und ermitteln Sie dessen Oberflächeninhalt und dessen Volumen.
\end{enumerate}

\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
    \item Bei einer Rotation des abgebildeten Dreiecks um die Seite c entsteht kein gerader Kreiskegel. \\
\includegraphics[width=0.25\linewidth]{10rr1050KE02_1b.png} \\
Ein gerader Kreiskegel entsteht genau dann, wenn ein rechtwinkliges Dreieck um eine seiner Katheten rotiert.
\item Bei der Rotation entsteht eine Kugel mit Radius 2. \\
Oberflächeninhalt der Kugel: $4 \cdot 2^2 \cdot \pi \approx 50,3$ \\
Volumen der Kugel: $\frac 4 3 \cdot 2^3 \cdot \pi \approx 33,5$
\item Rechtecksrotation: \\
\begin{enumerate}
    \item Bei der Rotation entsteht ein gerader Kreiszylinder mit Radius 2 und Höhe 8. Der Oberflächeninhalt beträgt somit 
    $2 \cdot \left(2^2 \cdot \pi \right) + 2 \cdot 2 \cdot \pi \cdot 8 = 40 \pi$ \\
    und das Volumen $2^2 \cdot \pi \cdot 8 = 32 \pi$
    \item Der bei der Rotation entstehende gerade Kreiszylinder besitzt den Radius 8 und die Höhe 2. Das Volumen V berechnet sich aus Radius r und Höhe h mit der Formel $V = r^2 \cdot \pi \cdot h$. Die Höhe beträgt ein Viertel des Wertes aus (i.), der Radius besitzt im Vergleich zu (i.) aber den vierfachen und der Faktor $r^2$ somit den 16-fachen Wert. Insgesamt ergibt sich also ein größeres Volumen als in (i.).
    \item Es ergibt sich ein Hohlzylinder. \\
    \includegraphics[width=4cm]{10rr1050KE02_1c.png} \\
    Oberflächeninhalt: $2 \cdot \left(3^2 \cdot \pi - 1^2 \cdot \pi \right) + 2 \cdot 3 \cdot \pi \cdot 8 + 2 \cdot 1 \cdot \pi \cdot 8 = 80 \pi$\\
    Volumen: $3^2 \cdot \pi \cdot 8 - 1^2 \cdot \pi \cdot 8 = 64 \pi$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}