\ANG{
{\bf Nullstellen ganzrationaler Funktionen bestimmen} \\
Ermitteln Sie jeweils rechnerisch die Nullstellen der in $\RR$ definierten der Funktion sowie die zugehörigen Vielfachheiten. Geben Sie jeweils einen vollständig faktorisierten Term der Funktion an. \\
(1) $f:x \mapsto 0,3 x^5 - 2,4 x^3 \qquad$ (2) $g:x \mapsto 9x^2+4x^4+12x^3 \qquad$ (3) $h:x \mapsto x^4-10x^2+9$ \\
\emph{Hinweis: Wählen Sie zur Lösung der Aufgabe jeweils eine der folgenden Strategien aus.} \\
    \includegraphics[width=1\linewidth]{10rr1040KE01_1a.png}
}
\LSG{
\renewcommand\labelenumii{(\theenumi)}
(1) $f(x) = 0 \Leftrightarrow 0,3 x^3 \cdot \left(x^2-8 \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \lor x^2 - 8= 0 \Leftrightarrow x = 0 \lor x = -2 \sqrt 2 \lor x = + 2 \sqrt 2$ \\
Nullstellen von f: $-2 \sqrt 2$ (einfach), 0 (dreifach), $+2 \sqrt 2$ (einfach) \\
vollständig faktorisierter Term: $0,3 x^3 \cdot \left(x-2 \sqrt 2 \right) \cdot \left(x + 2 \sqrt 2 \right)$. \\ \\
(2) $g(x) = 0 \leftrightarrow x^2 \cdot \left(4x^2 + 12x + 9 \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \lor 4x^2 + 12 x + 9 = 0
\Leftrightarrow x = 0 \lor (2x+3)^2 = 0$ \\
Nullstellen von g: -1,5 und 0 (jeweils doppelt) \\ 
vollständig faktorisierter Term: $x^2 \cdot \left(2x+3 \right)^2$\\ \\
(3) Mit der Substitution $u = x^2$ ergibt sich: \\
$h(x) = 0 \Leftrightarrow u^2 - 10u + 9 ) 0 \Leftrightarrow u = \frac {10-\sqrt{100-36}}{2} \lor u = \frac {10-\sqrt{100-36}}{2}
\Leftrightarrow u = 1 \lor u = 9$\\
$\Leftrightarrow x^2 = 1 \lor x^2 = 9 \leftrightarrow x = -1 \lor x = +1 \lor x = -3 \lor x = +3$ \\
Nullstellen von h: -3, -1, 1, 3 (jeweils einfach)\\
vollständig faktorisierter Term: $(x+3)(x+1)(x-1)(x-3)$

\end{enumerate}
}