\ANG{
{\bf Sinusfunktion zur Modellierung periodischer Vorgänge}\\
Unter der Tageslänge versteht man die Zeit von Sonnenaufgaben bis Sonnenuntergang. Die folgende Tabelle zeigt die Tageslänge in Stunden und Minuten in München jeweils am 21. des angegebenen Monats.\\[2ex]
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
Jan&Feb&März&Apr&Mai&Juni&Juli&Aug&Sept&Okt&Nov&Dez \\ \hline
8:59&10:32&12:09&13:56&15:23&16:01&15:26&13:58&12:14&10:31&8:59&8:19
\end{tabular} \\[2ex]
Im Folgenden soll die Abhängigkeit der Tageslänge von der Jahreszeit durch eine in  $\NN$ definierte Funktion $L:t \mapsto a \cdot \mathrm{sin}\left(b\cdot \left(t+c \right) \right)+d$  und  $a,b,c,d \in \RR$ näherungsweise beschrieben werden. Dabei ist t die Nummer des Tages im betrachteten Jahr, also 1 für den 01.01., 2 für den 2. Januar usw., und L  die zugehörige Tageslänge in Stunden. Vereinfachend wird angenommen, dass jeder Monat 30 Tage, das Jahr also 360 Tage hat. \\
In der Abbildung sind die Wertepaare, die sich entsprechend dieser Modellierung aus obiger Tabelle ergeben, grafisch dargestellt.
\begin{enumerate}
\begin{minipage}{5.5cm}
\item Erläutern Sie anhand der gegebenen Daten und des vorliegenden Sachzusammenhangs, dass $a=3,85$, $b=\frac {2\pi}{360}$ und $c=-81$ geeignete Parameterwerte sind.
\item Ermitteln Sie einen passenden Wert des Parameters $d$ auf zwei Nachkommastellen genau und geben Sie einen Term der Funktion L an. \\
\emph{(zur Kontrolle: d = 12,15)}

\end{minipage}
\begin{minipage}{5mm}$\quad$\end{minipage}
\begin{minipage}{9cm}
\includegraphics[width=1\linewidth]{10rr1030KE07_1a.png}
\end{minipage}
\item Ermitteln Sie zur Überprüfung des Modells exemplarisch für den 21. Mai die Abweichungen der anhand der Funktion L bestimmten Tageslängen von den tatsächlichen Werten.
\item Bestimmen Sie auf der Grundlage des Modells die Tageslänge am 10. Oktober.
\end{enumerate}

}
\LSG{
{\bf Sinusfunktion zur Modellierung periodischer Vorgänge}
\begin{enumerate}
\item Der Wert der Differenz der Tageslängen des längsten und des kürzesten Tages, also des 21.12. und des 21.6., beträgt 2a. Es gilt also 
$a = \left(16\frac 1 {60}-8\frac {19}{60}\right):2=3,85$.\\
Die Periodenlänge der Funktion L beträgt 360, somit gilt $b=\frac {2\pi}{360}$.\\
Der Parameterwert $c=-81$  ergibt sich aus der Tatsache, dass der 21.3., also der Tag mit $t=81$ , im Bereich zunehmender Tageslängen genau in der Mitte zwischen dem kürzesten und dem längsten Tag des Jahres liegt, der Graph der Funktion L im Vergleich zur Sinuskurve deshalb zusätzlich zu den durch die Parameter a und b bedingten Transformationen um 81 in positiver x-Richtung verschoben ist.
\item Die Tageslänge am 21.3. beträgt 12h 0 min, es gilt deshalb $d=12 \frac 9 {60} = 12,15$. \\
$L(t) = 3,85\cdot \mathrm{sin}\left(\frac {2\pi}{360}\cdot\left(t-81\right)\right)+12,15$.
\item Mit $L(141) = 15,5$ erhält man für den 21.5. eine Tageslänge von ca. 15h$\,$30$\,$min und somit eine Abweichung von ca. 7 min.
\item Mit $L(280) \approx 10,9$ erhält man für den 10.10. eine Tageslänge von ca. 10h$\,$54$\,$min.
\end{enumerate}
}