\ANG{
{\bf (Wahrscheinlichkeiten anhand eines Baumdiagramms ermitteln}\\
Jakob schreibt einen Multiple-Choice-Test, bei dem es drei Aufgaben mit jeweils drei Ankreuzmöglichkeiten a, b und c gibt, von denen jeweils Antwort c richtig wäre. Da Jakob auf den 
Test überhaupt nicht vorbereitet ist, muss er beim Ankreuzen raten und wählt jeweils völlig zufällig 
eine Antwort aus. In dem abgebildeten Baumdiagramm sind alle möglichen Antwortkombinationen dargestellt. \\
\includegraphics[width=10cm]{10rr1020KE01_3a.png}

Es werden nun die folgenden Ereignisse betrachtet:\\
A: ''Jakob hat die erste Aufgabe richtig beantwortet.''\\
B: ''Jakob hat die zweite Aufgabe richtig beantwortet.''\\
C: ''Jakob hat die dritte Aufgabe richtig beantwortet.''\\
D: ''Jakob hat keine Aufgabe richtig beantwortet.''
\begin{enumerate}
\item Begründen Sie, dass $P(A) = P(B) = P(C) = \frac 1 3$ gilt.
\item Entscheiden Sie, welche der folgenden Formulierungen das Ereignis $A \cap B$ korrekt beschreiben, und zeigen Sie anhand des Baumdiagramms, dass $P\left(A \cap B\right) = \frac 1 9$ gilt.
\begin{enumerate}
\item Jakob hat die dritte Aufgabe falsch gelöst.
\item Jakob hat mindestens zwei Aufgaben richtig gelöst.
\item Jakob hat die erste und die zweite Aufgabe richtig gelöst.
\item Jakob hat nur die erste und die zweite Aufgabe richtig gelöst.
\end{enumerate}
\item Zeigen Sie anhand des Baumdiagramms, dass $P\left(A \cup B\right) = \frac 5 9$ gilt.\\
Erläutern Sie, wie man diese Wahrscheinlichkeit mithilfe der Ergebnisse aus den Teilaufgaben
a und b auch ohne Verwendung des Baumdiagramms hätte ermitteln können.
\item Geben Sie das Ereignis D in Mengenschreibweise als Verknüpfung der Ereignisse A, B und C und die Wahrscheinlichkeit $P\left(D\right)$ an.
\item Beschreiben Sie das Ereignis $\bar D$ im Sachzusammenhang und bestimmen Sie $P\left(\bar D\right)$.
\end{enumerate}
}
\LSG{
{\bf Wahrscheinlichkeiten anhand eines Baumdiagramms ermitteln}
\begin{enumerate}
\item Da stets eine der drei möglichen Antworten richtig ist, liegt man bei zufälligem Setzen eines 
Kreuzes bei jeder Aufgabe mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac 1 3$ richtig.\\[1ex]
\begin{minipage}{10cm}
\item Das Ereignis $A \cap B$ wird nur durch die Formulierung iii korrekt beschrieben.
Bei Ereignis $A \cap B$ gibt es, wie im Baumdiagramm rechts 
dargestellt, drei mögliche Antwortkombinationen. Da insgesamt 27 Antwortkombinationen existieren und jede davon bei reinem Raten gleich wahrscheinlich ist, gilt 
$P\left(A \cap B\right) = \frac 3 {27} = \frac 1 9$.
\item In der Abbildung rechts sind alle möglichen Antwortkombinationen beim Ereignis $A \cup B$ dargestellt. Es gilt also $P\left(A \cup B\right) = \frac{15}{27} = \frac 5 9$.\\
Ohne Verwendung des Baumdiagramms lässt sich die Wahrscheinlichkeit mithilfe des Zusammenhangs $P\left(A \cup B\right) = P(A) - P\left(A \cap B\right)$ bestimmen. Mit den 
Ergebnissen aus den Aufgaben a und b erhält man $P\left(A \cup B\right) = \frac 1 3 + \frac 1 3 - \frac 1 9 = \frac 5 9$.
\end{minipage}
\begin{minipage}{5mm}
\phantom{X}
\end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
\includegraphics[width=1\linewidth]{10rr1020KE01_3b.png}
\end{minipage}
\item $D = \bar A \cap \bar B \cap \bar C; \quad P(D) = \frac 8 {27}$
\item $\bar D$: ''Jakob hat mindestens eine Aufgabe richtig beantwortet.''; $P\left(\bar D\right) = 1 - P(D) = \frac{19}{27}$
\end{enumerate}
}