\ANG{
\label{A11rr018}{\bf Numerische Berechnung der Ableitung:}\\[2mm]
Wenn man die Ableitungsfunktion $f'$ einer Funktion $f$ nicht kennt, 
kann man $f'(x)$ durch einen der folgenden Differenzenquotienten (DQ) 
ann"ahern:\\[-3mm]
\parbox[t]{4.7cm}{
\begin{center}\fbox{$\D f_{\rm R}(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$}\\[1mm]
          rechtsseitiger DQ
\end{center}}
\parbox[t]{4.7cm}{
\begin{center}\fbox{$\D f_{\rm L}(x)=\frac{f(x)-f(x-h)}{h}$}\\[1mm]
          linksseitiger DQ
\end{center}}
\parbox[t]{5.2cm}{
\begin{center}\fbox{$\D f_{\rm Z}(x)=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2\,h}$}\\[1mm]
          zentraler DQ
\end{center}}\\
\begin{enumerate}
\item Beweisen Sie, dass der zentrale Differenzenquotient der Mittelwert aus
  dem rechtsseitigen und dem linksseitigen Differenzenquotienten ist!
\item Zeichnen Sie den Graphen der Funktion $f$ mit
\[ f(x)=\frac{-x^2+10\,x-5}{4}\]
im Intervall $[\,0\,;\,6\,]$ und veranschaulichen Sie die Bedeutung der drei
Differenzenquotienten f"ur $x=3$ und $h=2$. Welcher Quotient liefert wohl die
beste N"aherung f"ur $f'(x)$?
\item Berechnen Sie die drei Differenzenquotienten f"ur die Funktion aus 
Teilaufgabe (b) an der Stelle $x=3$ mit $h=0{,}1$ und $h=0{,}001$. Wie gro"s 
ist der relative Fehler der N"aherungswerte?
\item Beweisen Sie, dass der zentrale Differenzenquotient einer quadratischen 
Funktion $f(x)=a\,x^2+b\,x+c$ gleich der Ableitung $f'(x)$ ist!
\end{enumerate}

}
\LSG{
(c) $\D f'(3)=1,\;\;f_{\rm L}(3)=1{,}025,\;\;f_{\rm R}(3)=0{,}975,\;\;
f_{\rm Z}(3)=1$ 
}