\ANG{
Berechnen Sie $f'(a)$ numerisch mit dem rechten, dem linken und 
dem zentralen Differenzenquotienten und geben Sie jeweils den relativen Fehler
an: 
\[\begin{array}{rlclcl}
\rule[-3mm]{0mm}{8mm}(\rm a)& 
f(x) = x^2       \quad &;& \quad a=2            \quad &;& \quad h=0{,}01\\
\rule[-3mm]{0mm}{8mm}(\rm b)& 
f(x)=\sin x      \quad &;& \quad a=\frac{\pi}{3}\quad &;& \quad h=0{,}1\\
\rule[-3mm]{0mm}{8mm}(\rm c)& 
f(x)=\sin x      \quad &;& \quad a=\frac{\pi}{3}\quad &;& \quad h=0{,}001\\
\rule[-3mm]{0mm}{8mm}(\rm d)& 
f(x)=\sin x      \quad &;& \quad a=\frac{\pi}{3}\quad &;& \quad h=0{,}00001\\
\rule[-3mm]{0mm}{8mm}(\rm e)& 
f(x)=2^x         \quad &;& \quad a=1            \quad &;& \quad h=0{,}0001\\
\rule[-3mm]{0mm}{8mm}(\rm f)& 
f(x)=x\cdot\cos x\quad &;& \quad a=\frac{\pi}{3}\quad &;& \quad h=0{,}0001
\end{array}\]
\begin{enumerate}
\item[(g)]
Die numerische Berechnung der Ableitung mit dem Taschenrechner liefert 
f"ur $h\approx 0{,}0001$ optimale Ergebnisse. Warum wird die Genauigkeit des 
Ergebnisses f"ur kleinere $h$ wieder schlechter?
\end{enumerate}

}
\LSG{\begin{footnotesize}
\[
\begin{array}{crclcrclcrcl}
{\rm (a)}& f'(2) &=& 4 &,&  
f_{\rm R} &=& 4{,}01 &,& \delta_{\rm R} &=& 0{,}0025\\
&&&&& f_{\rm L} &=& 3{,}99 &,& \delta_{\rm L} &=& -0{,}0025\\
&&&&& f_{\rm Z} &=& 4{,}00 &,& \delta_{\rm Z} &=& 0\\
{\rm (b)}& f'\left(\frac{\pi}{3}\right) &=& 0{,}5 &,&
f_{\rm R} &=& 0{,}4559 &,& \delta_{\rm R} &=& -0{,}0882\\
&&&&& f_{\rm L} &=& 0{,}5424 &,& \delta_{\rm L} &=& 0{,}0849\\
&&&&& f_{\rm Z} &=& 0{,}499167 &,& \delta_{\rm Z} &=& -0{,}00166\\
{\rm (c)}& f'\left(\frac{\pi}{3}\right) &=& 0{,}5 &,&
f_{\rm R} &=& 0{,}4995669 &,& \delta_{\rm R} &=& -0{,}000866\\
&&&&& f_{\rm L} &=& 0{,}5004329 &,& \delta_{\rm L} &=& 0{,}000866\\
&&&&& f_{\rm Z} &=& 0{,}49999992 &,& \delta_{\rm Z} &=& -1{,}67\cdot 10^{-7}\\
{\rm (d)}& f'\left(\frac{\pi}{3}\right) &=& 0{,}5 &,&
f_{\rm R} &=& 0{,}499995669 &,& \delta_{\rm R} &=& -8{,}66\cdot 10^{-6}\\
&&&&& f_{\rm L} &=& 0{,}50000433 &,& \delta_{\rm L} &=& 8{,}66\cdot 10^{-6}\\
&&&&& f_{\rm Z} &=& 0{,}499999999992 &,& \delta_{\rm Z} &=& -1{,}67\cdot 10^{-11}\\
{\rm (e)}& f'(1) &=& 1{,}386294361 &,&
f_{\rm R} &=& 1{,}386342407 &,& \delta_{\rm R} &=& 3{,}47\cdot 10^{-5}\\
&&&&& f_{\rm L} &=& 1{,}386246317 &,& \delta_{\rm L} &=& -3{,}47\cdot 10^{-5}\\
&&&&& f_{\rm Z} &=& 1{,}386294362 &,& \delta_{\rm Z} &=& 8{,}00\cdot 10^{-10}\\
{\rm (f)}& f'(2) &=& -0{,}4068996821 &,&  
f_{\rm R} &=& -0{,}4070124656 &,& \delta_{\rm R} &=& 2{,}77\cdot 10^{-4}\\
&&&&& f_{\rm L} &=& -0{,}4067869006 &,& \delta_{\rm L} &=& -2{,}77\cdot
10^{-4}\\ 
&&&&& f_{\rm Z} &=& -0{,}4068996831 &,& \delta_{\rm Z} &=& 2{,}43\cdot
10^{-9}\\ 
\end{array}
\]\end{footnotesize}
(g) \parbox[t]{13cm}{Wegen der beschr"ankten Genauigkeit des Rechners und der
  Differenz benachbarter Werte im Z"ahler!}
}
%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "rr1"
%%% End: 
