\ANG{
Wir betrachten die Funktion $f$ mit dem Funktionsterm $f(x)=\frac{1}{x}$.
\begin{enumerate}
\item Berechnen Sie den Funktionsterm $t(x)$ der Tangente an G$_{f}$ im Punkt
  $\EPUNKT{P}{a}{f(a)}$. Wo schneidet die Tangente die Koordinatenachsen?
\item $s(x)$ ist der Funktionsterm der Tangente an G$_{f}$ im Punkt
  $\EPUNKT{Q}{\frac1a}{f\left(\frac1a\right)}$. Berechnen Sie $s(x)$ mit Hilfe des
  Ergebnisses von Teilaufgabe (a). Wie lauten die Koordinaten des
  Schnittpunktes S$(x_{\text{s}}|y_{\text{s}})$ von $t$ und $s$?
\item Zeichnen Sie den Grafen von $f$ im $x$-Intervall $]0;4]$ mit der
  Einheit 2\,cm und zeichnen Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse
  die Tangenten $t$ und $s$ f"ur $a=2$ ein. 
  Unter welchem Winkel $\varphi$ schneiden sich die beiden Tangenten f"ur $a=2$?
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\D f'(x)=-\frac{1}{x^{2}}\quad\DANN\quad f'(a)=-\frac{1}{a^{2}}$\\[2mm]
  $\D
  t(x)=\frac{1}{a}-\frac{1}{a^{2}}(x-a)=\frac{2}{a}-\frac{x}{a^{2}}$\\[2mm]
Schnittpunkte mit den Achsen: $\EPUNKT{}{0}{\frac{2}{a}}$ und $\EPUNKT{}{2a}{0}$
\item $a$ durch $\frac{1}{a}$ in $t(x)$ ersetzen:\\[2mm]
  $\D s(x)=2a-a^{2}x$\\[2mm]
Schnittpunkte mit den Achsen: $\EPUNKT{}{0}{2a}$ und
$\EPUNKT{}{\frac{2}{a}}{0}$\\[2mm]
$\D t(x_{\text{s}})=s(x_{\text{s}})\quad\DANN\quad
x_{\text{s}}=2\,\frac{a-\frac{1}{a}}{a^{2}-\frac{1}{a^{2}}}=
\frac{2a}{1+a^{2}}$\\[2mm]
$\D y_{\text{s}}=2a-a^{2}x_{\text{s}}=\frac{2a}{1+a^{2}}=x_{\text{s}}$
\item $\D \tan\alpha=\frac{\frac{2}{a}}{2a}=\frac{1}{a^{2}}=\frac{1}{4}
\quad\DANN\quad\alpha\approx 14^{\circ}\quad\DANN\quad
\varphi=90^{\circ}-2\alpha\approx 62^{\circ}$
\EPSC{11rr209}{8cm}{}{}
\end{enumerate}
}

