\ANG{
Wir betrachten die Funktionen $f$ und $g$ mit den Termen
\[f(x)=\frac{x^{2}}{2}+x-\frac{3}{2}\quad\text{und}\quad
  g(x)=\frac{5}{x}\]
\begin{enumerate}
\item Berechnen Sie die Ableitungen $f'(x)$ und $g'(x)$.
\item Berechnen Sie die Scheitelkoordinaten von $\text{G}_{f}$ und schreiben Sie $f(x)$
  in der Scheitelform hin.
\item Erstellen Sie eine Wertetabelle f"ur $f$ und $g$ f"ur alle ganzzahligen
  $x$-Werte im Intervall $[-1;4]$. In welchem Punkt S schneiden sich also $f$ und $g$?
  Zeichnen Sie die Grafen von $f$ und $g$ im Intervall $[-1;4]$ in ein
  Koordinatensystem. Erg"anzen Sie die Wertetabelle in geeigneter Weise.
\item Stellen Sie die Gleichung $t(x)$ der Tangente an $\text{G}_{g}$ im Punkt
  S auf. Geben Sie die Koordinaten der Schnittpunkte dieser Tangente mit den
  Koordinatenachsen an. 
\item Zeichnen Sie die Tangenten an die beiden Funktionsgrafen in S ein und
  berechnen Sie den Schnittwinkel der beiden Grafen. 
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $f'(x)=x+1$,\quad $\D g'(x)=-\frac{5}{x^{2}}$.
\item $f'(x_{\text{s}})=x_{\text{s}}+1=0,\quad x_{\text{s}}=-1,\quad
  y_{\text{s}}=f(x_{\text{s}})=-2,\quad f(x)=\frac12(x+1)^{2}-2$
\end{enumerate}
\EPSR{6.5cm}{11rr210}{6cm}{}{}{
\begin{enumerate}
\item[(c)]
    \begin{tabular}[t]{c|c|c|c|c|c|c}
      $x$ & $-1$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\\hline
      $f$ & $-2$ & $-1{,}5$ & 0 & 2,5 & 6 & 10,5 \\\hline
      $g$ & $-5$ & -- & 5 & 2,5 & 1,67 & 1,25  
    \end{tabular}\\[2mm]
    \begin{tabular}[t]{c|c|c|c|c}
      $x$ & $-0{,}5$ & 0,5 & 1,5 & 2,5 \\\hline
      $f$ & $-1{,}875$ & $-0{,}875$ & 1,125 & 4,125 \\\hline
      $g$ & $-10$ & 10 & 3,33 & 2   
    \end{tabular}\\[2mm]
Schnittpunkt: $\EPUNKT{S}{2}{2{,}5}$
\item[(d)]
$g'(2)=-\frac54,\quad t(x)=-\frac54 x+b$\\[2mm]
$\text{S}\in t:\quad t(2)=g(2)=\frac52=-\frac54\cdot 2+b$\\[2mm]
$\DANN\quad b=5,\quad t(x)=-\frac54 x+5$\\[2mm]
Schnittp. mit Achsen: $(0|5)$ und $(4|0)$ 
\item[(e)]
$\tan\beta=|g'(2)|=1{,}25$,\quad$\beta=51{,}34^{\circ}$\\[2mm]
$\tan\alpha=f'(2)=3$,\quad$\alpha=71{,}57^{\circ}$\\[2mm]
$\gamma=180^{\circ}-\alpha-\beta=57{,}1^{\circ}$
\end{enumerate}
}
}

