\ANG{
Gegeben ist eine Parabel mit der Funktionsgleichung
$p(x)=\frac12(x-2)^2+1$.
\begin{enumerate}
\item Bestimmen sie die Gleichung der Tangente $t(x)$ mit der Steigung $m=1$.
\item Geben sie die Gleichungen der Geraden $g_i(x)$ an, die man erh"alt, indem man
den Graphen von $t(x)$ um 1, 2 und 3 nach oben verschiebt.
\item Berechnen sie die Schnittpunkte der Geraden $g_i(x)$ mit der Parabel
und jeweils den Mittelpunkt der beiden Schnittpunkte
auf der Geraden $g_i(x)$ f"ur $i=1{,}2,3$.
\item Formulieren sie ihre Beobachtung und beweisen Sie sie.
\end{enumerate}

Anregung:\\
Verallgemeinern sie die Beobachtung f"ur andere Steigungen.\\[2mm]


\begin{tiny}    nach: Dieter Wensky, {\em Kurvendiskussion pass\'{e}}, Praxis der Mathematik 3/40, Jg.\ 1998  \end{tiny}



}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $t(x)=x-\frac32$
\item $g_1(x)=x-\frac12$, $g_2(x)=x+\frac12$, $g_3(x)=x+\frac32$
\item $g_1$: $M_1(3|2\frac12)$, $g_2$: $M_2(3|3\frac12)$,
$g_3$: $M_2(3|4\frac12)$
\item Verschiebt man die Tangente kontinuierlich nach oben schneidet die
Gerade die Parabel in zwei Punkten, die symmetrisch zum Punkt $M(3|?)$ liegen.\\
$g_c(x)=x+c=p(x)$ liefert die L"osungen $x_{1/2}=3\pm\sqrt{3+2c}$.
Damit liegt der Mittelpunkt der Schnittpunkte bei $M(3|3+c)$
\end{enumerate}
}

