\ANG{
Wir betrachten die Funktion $f$ mit der Gleichung
\[f(x)=\frac{\sin x}{x-\cos x}\]
\begin{enumerate}
\item Berechnen Sie mit einem geeigneten Verfahren den Wert $x_{0}$, an dem
  $f$ nicht definiert ist.
\item Berechnen Sie die Nullstellen von $f$ im $x$-Intervall $[-4\,;\,4]$, 
 erstellen Sie eine Wertetabelle mit geeigneten Werten und zeichnen
  Sie den Grafen von $f$ im angegebenen Intervall.
\item Berechnen Sie die Ableitung $f'$ von $f$.
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item \EPSR{7.5cm}{11rr2212}{5.5cm}{}{
 \PSFM{0}{0} \PSFM{1}{1} \PSFM{2}{2} \PSFM{3}{3} \PSFM{4}{4} 
 \PSFM{5}{5} \PSFM{6}{6} \PSFM{7}{7} \PSFM{8}{8} \PSFM{10}{10}}{
  $n(x)=x-\cos x=0$ l"ost man mit dem Newton-Verfahren. Einen geeigneten
  Startwert findet man z.B., wenn man die Grafen von $x$ und $\cos x$
  schneidet: $x_{0}=0{,}8$.\quad $n'(x)=1+\sin x\quad\DANN$
  \[ x_{k+1} = x_{k}-\frac{n(x_{k})}{n'(x_{k})}=
  x_{k}-\frac{x_{k}-\cos x_{k}}{1+\sin x_{k}}\]

}

$x_{0}=0{,}8$, $x_{1}=0{,}7398533064$, $x_{2}=0{,}7390852634$,
 $x_{3}=0{,}7390851332$
\item \EPSR{5.5cm}{11rr221}{7.5cm}{}{
 \PSFM{0}{0} \PSFM{1}{1} \PSFM{2}{2} \PSFM{3}{3} \PSFM{4}{4} 
 \PSFM{5}{5} \PSFM{6}{6} \PSFM{7}{7} \PSFM{8}{8} \PSFM{10}{10} 
}{
  \begin{tabular}[t]{c|c|c|c|c}
  $x$ & $-4$ & $-3$ & $-2$ & $-1$ \\\hline
  $f(x)$ & $-0{,}22$ & $0{,}07$ & $0{,}57$ & $0{,}54$
  \end{tabular}\\

  \begin{tabular}[t]{c|c|c|c|c}
  $x$ & 0 & 0,5 & 1 & 1,5 \\\hline
  $f(x)$ & 0 & $-1{,}27$ & 1,83 & 0,70
  \end{tabular}\\

  \begin{tabular}[t]{c|c|c|c}
  $x$ & 2 & 3 & 4 \\\hline
  $f(x)$& 0,38 & 0,035 & $-0{,}16$  
  \end{tabular}\\

Nullstellen: 
\[x_{01}=-\pi,\quad x_{02}=0,\quad x_{3}=\pi\]
}
\item $\D f'(x)=\frac{\cos x\cdot(x-\cos x)-\sin x\cdot(1+\sin x)}
{(x-\cos x)^{2}}=\frac{x\cos x-\sin x-1}{(x-\cos x)^{2}}$
\end{enumerate}
}
