\ANG{
Untersuche folgende Funktionen auf Monotonie:\\[2mm]
(a)\quad$\D f(x)=2x^{3}-3x^{2}-36x+3$\qquad
(b)\quad$\D g(x)=x+\sin x$\qquad
(c)\quad$\D h(x)=\e^{-x}\sin x$
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\D f'(x)=6x^{2}-6x-36=6(x^{2}-x-6)$ mit NS bei $x_{11}=-2$ und
  $x_{12}=3$. Da der Graph von $f$ eine nach oben ge"offnete Parabel ist, gilt
  \begin{align*}
    f'(x) &> 0\quad\text{($f$ streng steigend)} &&\text{f"ur }-\infty<x<-2 
        \text{ oder }3<x<\infty\\
    f'(x) &< 0\quad\text{($f$ streng fallend)} &&\text{f"ur }-2<x<3 
  \end{align*}
\item $\D g'(x)=1+\cos x\geqq 0$ f"ur alle $x$ und nur isolierte NS von
  $g'\QDQ$\\[1mm]
 $f$ streng steigend in $\RR$.
\item $h'(x)=\e^{-x}(\cos x-\sin x)$. Wegen $\e^{-x}>0$ ist das Vorzeichen von
  $h'(x)$ gleich dem Vorzeichen von $\cos x-\sin x$:
\[h'(x)>0\GENAUDANN \cos x-\sin x>0 \GENAUDANN \cos x>\sin x\] 
 \begin{align*}
\text{streng steigend} &\GENAUDANN h'(x)>0&&\GENAUDANN& 
  -\frac{\pi}{4}+2k\pi &<x<\frac{3\pi}{4}+2k\pi\text{ mit }k\in\ZZ\\
\text{streng fallend} &\GENAUDANN h'(x)<0&&\GENAUDANN& 
 \frac{3\pi}{4}+2k &<x<\frac{7\pi}{4}+2k\pi\text{ mit }k\in\ZZ
\end{align*}
\end{enumerate}
}
