\ANG{
Wir betrachten die Funktionenschar $f_{a}$ mit
\[f_{a}(x)=\frac{ax+2}{2\e^{x}},\quad
  \DD_{f_{a}}=\RR\text{ und }a\in\RR\OHNE\{0\}.\]
\begin{enumerate}
\item Bestimme in Anh"angigkeit des Scharparameters $a$ die Nullstellen von
  $f_{a}$ und das Verhalten von $f_{a}$ f"ur $x\to\pm\infty$.
\item Zeige, dass alle Grafen der Funktionenschar genau einen Punkt gemeinsam
  haben und gib seine Koordinaten an.
\item Bestimme die Koordinaten der lokalen Extrema der Funktionenschar in
  Abh"ang\-igkeit von $a$.
\item Zeichne die Grafen der Funktionen $f_{0{,}5}$, $f_{2}$, $f_{20}$ und 
$f_{-4}$ in ein geeignetes Koordinatensystem. Stelle vorher die Nullstellen
und die Koordinaten der Extremwerte in einer Tabelle zusammen.
\item Unter welchem spitzen Winkel $\alpha$ schneiden sich die Grafen der
  beiden Funktionen $f_{0{,}5}$ und $f_{20}$?
\item Auf welcher Kurve $y=g(x)$ liegen die Extremwerte der Scharfunktionen?
  Zeichne sie in das schon bestehende Koordinatensystem ein.
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Nullstellen: $\D x_{a0}=-\frac 2a$\\[2mm]
$\D\lim_{x\to-\infty}f(x)=\left(\frac{-\sgn(a)\cdot\infty}{0^+}\right)=
-\sgn(a)\cdot\infty$\\[2mm]
$\D\lim_{x\to+\infty}f(x)=\left(\frac{\sgn(a)\cdot\infty}{+\infty}\right)=
\lim_{x\to+\infty}\frac{a}{2\e^x}=\left(\frac{a}{+\infty}\right)=0^\pm$\\[2mm]
\item $\D f_a(x)=f_b(x)\QDQ ax=bx\QDQ (a-b)x=0\QDQ x=0\,\,(a\neq b)$\\[2mm]
Der gemeinsame Punkt aller Grafen ist also $(0|1)$.
%
\item $\D f'_a(x)=\frac{-ax+a-2}{2\e^x}$\\[2mm]
$\D f'_a(x)=0\QDQ x_{a1}=\frac{a-2}{a}=1-\frac 2a$,\quad
$\D f_a(x_{a1})=\frac{a}{2}\e^{\frac{2-a}{a}}$\\[2mm]
$\D f'_a(x)>0\GENAUDANN x<\frac{a-2}{a}$ f"ur $a>0$ oder $\D x>\frac{a-2}{a}$ f"ur $a<0$.

$\D a>0\QDQ$ $f$ steigend in $]-\infty;\frac{a-2}{a}[$ und fallend in $]\frac{a-2}{a};\infty[\QDQ$\\[2mm]
Hochpunkt bei 
$\EPUNKT{H}{\frac{a-2}{a}}{\frac{a}{2}\e^{\frac{2-a}{a}}}$\\[2mm]
$\D a<0\QDQ$ $f$ fallend in $]-\infty;\frac{a-2}{a}[$ und steigend in $]\frac{a-2}{a};\infty[\QDQ$\\[2mm]
Tiefpunkt bei 
$\EPUNKT{H}{\frac{a-2}{a}}{\frac{a}{2}\e^{\frac{2-a}{a}}}$
%
\item\mbox{}
\vspace{-5mm}

\[\begin{array}{c|c|c|c|c}
a & 0{,}5 & 2 & 20 & -4 \\\hline
x_{a0} & -4 & -1 & -0{,}1 & 0{,}5 \\\hline
x_{a1} & -3 & 0 & 0{,}9 & 1{,}5 \\\hline
f(x_{a1}) & \D\frac{\e^3}{4}\approx 5{,}02 & 1 & \D\frac{10}{\e^{0{,}9}}\approx 4{,}07 & 
\D-\frac{2}{\e^{1{,}5}}\approx -0{,}446  
\end{array}\]
\EPSC{11rr2591}{12cm}{}{
\PSFM{-4}{$-4$} \PSFM{-3}{$-3$} \PSFM{-2}{$-2$} \PSFM{-1}{$-1$} \PSFM{-5}{$-5$} 
\PSFM{0}{0} \PSFM{1}{1} \PSFM{2}{2} \PSFM{3}{3} \PSFM{4}{4} \PSFM{5}{5} 
\PSFM{6}{6} \PSFM{7}{7}\PSFM{8}{8} \PSFM{9}{9} \PSFM{10}{10}  
\PSFM{x}{$x$} \PSFM{y}{$y$}  \PSFM{f05}{$f_{\frac 12}$} \PSFM{f2}{$f_2$}  
\PSFM{f20}{$f_{20}$} \PSFM{fm4}{$f_{-4}$}   \PSFM{g}{$g$}
}
\item $f_{0{,}5}'(0)=-0{,}75=\tan\alpha\QDQ\alpha=-36{,}87^\circ$\\[2mm]
$f_{20}'(0)=9=\tan\beta\QDQ\beta=83{,}66^\circ$\\[2mm]
Schnittwinkel: $\varphi=180^\circ-(\beta+|\alpha|)=59{,}47^\circ$
\item $\D x_1=1-\frac 2a\QDQ \frac a2=\frac{1}{1-x_1}\QDQ
y_1=\frac{a}{2}\e^{\frac{2-a}{a}}=\frac{\e^{-x_1}}{1-x_1}\quad\DANN$
\[g(x)=\frac{\e^{-x}}{1-x}\]
\end{enumerate}
}
