\ANG{
\begin{enumerate}
\item Beweise, dass f"ur $\vec{a}\neq\vec{o}$,  $\vec{b}\neq\vec{o}$ und 
 $\vec{a}\nparallel\vec{b}$ gilt:
\[\lambda\vec{a}+\mu\vec{b}=\vec{o}\quad\GENAUDANN\quad\lambda=\mu=0\] 
\item Beweise:\quad\parbox[t]{12cm}{
Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt. Dieser Punkt
(Schwerpunkt des Dreiecks) teilt die Seitenhalbierenden im Verh"altnis 2:1.}
\item Im $\RR^{3}$ sind die Punkte A und B durch die Ortsvektoren 
$\VPFEIL{\mathrm{OA}}=\vec{a}$ und $\VPFEIL{\mathrm{OB}}=\vec{b}$ gegeben, M ist der
Mittelpunkt von $[\mathrm{AB}]$.
Dr"ucke $\vec{m}=\VPFEIL{\mathrm{OM}}$ durch $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aus. 
\item Im $\RR^{3}$ sind die Punkte A, B und C durch die Ortsvektoren 
$\VPFEIL{\mathrm{OA}}=\vec{a}$, $\VPFEIL{\mathrm{OB}}=\vec{b}$ und 
$\VPFEIL{\mathrm{OC}}=\vec{c}$ gegeben, S ist der Schwerpunkt von 
$\triangle\mathrm{ABC}$.

Dr"ucke $\vec{s}=\VPFEIL{\mathrm{OS}}$ durch $\vec{a}$, $\vec{b}$ und $\vec{c}$ aus.  
\end{enumerate}

} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item F"ur $\lambda\neq 0$ und $\mu\neq 0$ folgt aus $\lambda\vec{a}+\mu\vec{b}=\vec{o}$:
\[\vec{a}=-\frac{\mu}{\lambda}\,\vec{b},\]
d.h. $\vec{a}\|\vec{b}$ im Widerspruch zur Annahme. Die Gleichung 
$\lambda\vec{a}+\mu\vec{b}=\vec{o}$ kann also nur f"ur $\lambda=\mu=0$ erf"ullt werden.
\item Bezeichnungen im $\triangle\mathrm{ABC}$: $\vec{b}=\VPFEIL{\mathrm{AB}}$, 
$\vec{c}=\VPFEIL{\mathrm{AC}}$, Seitenmittelpunkte: M$_{a}$, M$_{b}$, M$_{c}$\\[2mm]
Schnittpunkte: $\{\mathrm{S}_{ab}\}=\mathrm{AM}_a\cap\mathrm{BM}_b$, 
$\{\mathrm{S}_{ac}\}=\mathrm{AM}_a\cap\mathrm{CM}_c$, 
$\{\mathrm{S}_{bc}\}=\mathrm{BM}_b\cap\mathrm{CM}_c$,
\[\VPFEIL{\mathrm{AM}_a}=\vec b+\frac{1}{2}(\vec{c}-\vec{b})=\frac{\vec b}{2}+\frac{\vec c}{2},
\quad\VPFEIL{\mathrm{BM}_b}=\frac{\vec c}{2}-\vec b\]
\EPSC{11rr3031}{8cm}{}{
\PSFM{A}{A} \PSFM{B}{B} \PSFM{C}{C} \PSFM{D}{D} 
\PSFM{Sab}{S$_{ab}$} \PSFM{Sac}{S$_{ac}$} \PSFM{Sbc}{S$_{bc}$} 
\PSFM{ch}{$-\frac{\vec{c}}{2}$} 
\PSFM{la}{$\lambda\cdot\VPFEIL{\mathrm{AM}_{a}}$} 
\PSFM{mb}{$\mu\cdot\VPFEIL{\mathrm{BM}_{b}}$}
\PSFM{Ma}{M$_{a}$} \PSFM{Mb}{M$_{b}$} \PSFM{Mc}{M$_{c}$} 
\PSF{hcb}{$\frac{1}{2}(\vec{c}-\vec{b})$}
}
Geschlossene Vektorkette:\quad
$\D\underbrace{\VPFEIL{\mathrm{AS}_{ab}}}_{\lambda\VPFEIL{\mathrm{AM}_a}}+
\underbrace{\VPFEIL{\mathrm{S}_{ab}\mathrm{M}_b}}_{\mu\VPFEIL{\mathrm{BM}_b}}+
\underbrace{\VPFEIL{\mathrm{M}_b\mathrm{A}}}_{-\frac{\vec{c}}{2}}=\vec o\QDQ$
\begin{align*}
\lambda\left(\frac{\vec b}{2}+\frac{\vec c}{2}\right)+
\mu\left(\frac{\vec c}{2}-\vec b\right)-\frac{\vec{c}}{2} &= \vec o\\
\vec b\left(\frac{\lambda}{2}-\mu\right)+\vec c\left(\frac{\lambda}{2}+\frac{\mu}{2}-\frac 12\right) &= \vec o
\end{align*}
Da $\vec b\nparallel\vec c$ folgt:\quad$\D\frac{\lambda}{2}-\mu=0\QDQ\mu=\frac{\lambda}{2}$\quad und\quad
$\D\frac{\lambda}{2}+\frac{\mu}{2}-\frac 12=\frac 34\,\lambda-\frac 12=0$
\[\DANN\quad \lambda=\frac 23\quad\text{und}\quad\mu=\frac 13\QDQ
\overline{\mathrm{AS}_{ab}}=\frac 23\cdot\overline{\mathrm{AM}_{a}}\quad\text{und}\quad
\overline{\mathrm{BS}_{ab}}=\frac 23\cdot\overline{\mathrm{BM}_{b}}\]
Genauso zeigt man $\D\overline{\mathrm{AS}_{ac}}=\frac 23\cdot\overline{\mathrm{AM}_{a}}\quad\text{und}\quad
\overline{\mathrm{BS}_{bc}}=\frac 23\cdot\overline{\mathrm{BM}_{b}}$, d.h. S$_{ab}$, S$_{ac}$ und
S$_{bc}$ fallen in einem Punkt S zusammen und $\D\frac{\overline{\mathrm{AS}}}{\overline{\mathrm{SM_a}}}=\frac 21$.
\item \EPSR{9cm}{11rr3032}{5cm}{}{
\PSFM{A}{A} \PSFM{B}{B} \PSFM{O}{O}  
\PSFM{M}{M} \PSFM{m}{$\vec{m}$} \PSFM{a}{$\vec{a}$} \PSFM{b}{$\vec{b}$} 
\PSF{hba}{$\frac{1}{2}(\vec{b}-\vec{a})$}
}{
$\D\vec{m}=\vec b+\frac 12\,(\vec b-\vec a)=\frac 12\,(\vec a+\vec b)$
}
\item \EPSR{9cm}{11rr3033}{5cm}{}{
\PSFM{A}{A} \PSFM{B}{B} \PSFM{O}{O} \PSFM{C}{C}  \PSFM{c}{$\vec{c}$} \PSFM{M}{M}
\PSFM{S}{S} \PSFM{s}{$\vec{s}$} \PSFM{a}{$\vec{a}$} \PSFM{b}{$\vec{b}$} 
 \PSFM{m}{$\vec{m}$} 
}{
$\D\vec{m}=\frac 12\,(\vec a+\vec b),\quad
\VPFEIL{\mathrm{CM}}=\vec{m}-\vec c=\frac{\vec a}{2}+\frac{\vec b}{2}-\vec c$\\[2mm]
$\D\vec s=\vec c+\frac 23\VPFEIL{\mathrm{CM}}=
\vec c+\frac{\vec a}{3}+\frac{\vec b}{3}-\frac{2\vec c}{3}$
\[\vec s=\frac 13\left(\vec a+\vec b+\vec c\right)\]
}
\end{enumerate}
}
