\ANG{
Widerlegen Sie folgende Behauptungen mit Hilfe der angegebenen Funktionen.
\begin{enumerate}
\item Existiert der Grenzwert von $f$ an der Stelle $x$, so ist $f$ an der
Stelle $x$ stetig.
$$f(x)= \left\{ \begin{array}{lll}
   1 & \mbox{f"ur} & x\not =3\\
   2 &\mbox{f"ur} & x=3
   \end{array}\right.$$
\item Jede Unstetigkeitsstelle einer Funktion ist eine Sprungstelle.
$$f(x)= \left\{ \begin{array}{lll}
   \sin\frac 1x, & \mbox{f"ur} & x\not =0\\
   0 &\mbox{f"ur} & x=0
   \end{array}\right.$$
\item Ist $f$ an der Stelle $x$ stetig, so ist $f$ an der Stelle $x$ auch
differenzierbar.
$$f(x)=|x|, \DD=\RR$$
\item Ist eine stetige Funktion $f$ an einer Stelle $x$ nicht differenzierbar,
so hat $f$ an der Stelle $x$ eine Knickstelle.
$$f(x)= \left\{ \begin{array}{lll}
   x\sin\frac 1x, & \mbox{f"ur} & x\not =0\\
   0 &\mbox{f"ur} & x=0
   \end{array}\right.$$
\item Ist $f$ an der Stelle $x$ differenzierbar, so ist $f'$ an der Stelle $x$
stetig.
$$f(x)= \left\{ \begin{array}{lll}
   x^2\sin\frac 1x, & \mbox{f"ur} & x\not =0\\
   0 &\mbox{f"ur} & x=0
   \end{array}\right.$$
\item Ist die Ableitung einer reellen Funktion $f$ an einer Stelle $x_0$ positiv, so
ist $f$ in einer Umgebung von $x_0$ streng monoton wachsend.
$$f(x)= \left\{ \begin{array}{lll}
   x^2\sin\frac 1x+\frac x2, & \mbox{f"ur} & x\not =0\\
   0 &\mbox{f"ur} & x=0
   \end{array}\right.$$
\end{enumerate}
Quelle: Mathematik lehren, Heft 75, S. 64ff



}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $f$ ist an der Stelle $x=3$ unstetig, obwohl der Grenzwert
$\D\lim_{x\rightarrow 3}f(x)=1$ existiert.
\item $f$ ist an der Stelle $x=0$ unstetig (in jeder beliebigen
Umgebung von 0 nimmt die Funktion den Wert 1 und den Wert -1 an).\\
$x=0$ ist jedoch keine Sprungstelle.
\item $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} f(x)=0=f(x)$, also ist $f$ bei $x=0$ stetig.\\
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow \pm 0} f'(x)=\pm 1$, also ist $f$ bei $x=0$ nicht
differenzierbar.
\item $\D f'(0)=\lim_{x\rightarrow \pm 0} \sin\frac 1x$
Dieser Grenzwert existiert nicht, also ist $f$ bei $x=0$ nicht differenzierbar.
Trotzdem hat $f$ an der Stelle $x$ keine Knickstelle.
\item  $\D f'(0)=\lim_{x\rightarrow \pm 0} \frac{f(x)-0}{x-0}
\lim_{x\rightarrow \pm 0} x\sin\frac 1x=0$,\\[1mm]
also ist $f$ bei $x=0$ differenzierbar.
$$f'(x)= \left\{ \begin{array}{lll}
   2x\sin\frac 1x-\cos\frac 1x, & \mbox{f"ur} & x\not =0\\
   0 &\mbox{f"ur} & x=0
   \end{array}\right.$$
Diese Funktion ist bei $x=0$ unstetig.
\item $$f'(x)= \left\{ \begin{array}{lll}
   2x\sin\frac 1x-\cos\frac 1x+\frac 12, & \mbox{f"ur} & x\not =0\\
   \frac 12 &\mbox{f"ur} & x=0
   \end{array}\right.$$
In jeder Umgebung von $x=0$ gibt es Stellen $x=\frac 1{2\pi\cdot n}$, an denen
$\sin\frac 1x=0$ und $\cos\frac 1x=1$ und damit $f'(x)=-\frac 12$ ist.
\end{enumerate}
}
