\ANG{
Gegeben ist die Funktion
$$f(x)=\left\{ \begin{array}{ccl}\frac14x^2, & \mbox{falls} & x\le0\\
                  x^2\sin{\frac1x}, & \mbox{falls} & x> 0\end{array}\right. $$
\begin{enumerate}
\item Geben Sie die Nullstellen der Funktion im gesamten Definitionsbereich an.
\item Untersuchen Sie, ob $f(x)$ im Definitionsbereich stetig und
differenzierbar ist.
\end{enumerate}

}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item N$_0(0|0)$, $\D\EPUNKT{N_n}{\frac{1}{n\pi}}{0}$, $n\in\NN$
\item $\D\lim_{x\to 0\pm 0}f(x)=0$, d.\ h.\ $f(x)$ ist bei $x_0=0$ stetig.\\[1mm]
$\D f_{+}'(0)=\lim_{x\to 0+0}\frac{x^{2}\sin{\frac1x}-0}{x-0}=0,\qquad
f_{-}'(0)=\lim_{x\to 0-0}\frac{x^2-0}{x-0}=0$,\\[1mm] 
d.\ h.\ $f(x)$ ist bei $x_0=0$ differenzierbar. Allerdings ist
\[ f'(x)=\begin{cases}
          \frac{1}{2}\,x & \quad\text{f"ur } x\leqq 0\\
          2\,x\,\sin\frac 1x-\cos\frac 1x & \quad\text{f"ur } x>0
\end{cases}\]
bei $x=0$ nicht stetig.
\end{enumerate}
}
