\ANG{
Wir untersuchen die Funktion\qquad 
$f(x)=\begin{cases}
        \D x^2\cdot \sin \frac{1}{x} &\text{f"ur $x\neq 0$}\\
        \quad\;\;\; 0 &\text{f"ur $x=0$}\\        
      \end{cases}$\quad
\begin{enumerate}
\item Welche Symmetrie hat der Graph von $f$? Berechnen Sie in
  $\RR^{+}$ alle $x_{0k}$ mit $f(x)=0$, alle $x_{1k}$ mit  
$f(x)=x^2$ sowie alle $x_{2k}$ mit $f(x)=-x^2$ und zeichnen Sie dann die
Graphen von $x^2$, $-x^2$ und $f$ mit den Einheiten 
$0{,}1\,\widehat{=}\,2\,$cm auf der $x$-Achse und  
$0{,}1\,\widehat{=}\,10\,$cm auf der $y$-Achse im $x$-Intervall 
$[\,-0{,}35\,;0{,}35\,]$.
\item Berechnen Sie $f'(x)$ f"ur $x\neq 0$.
\item Berechnen Sie $f'(0)$ mit der Definition der Ableitung.
\item Untersuchen Sie $f$ und $f'$ auf Stetigkeit.
\end{enumerate}
 
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item \parbox[t]{6cm}{ 
  $x_{00}=0$, $\D x_{0k}=\frac{1}{k\,\pi}$ f"ur $k\neq 0$\\[3mm]
  $\D x_{1k}=\frac{1}{(0{,}5+2k)\pi}$\\[3mm]
  $\D x_{2k}=\frac{1}{(1{,}5+2k)\pi}$
  }\hfill\parbox[t]{6cm}{
  \begin{tabular}[t]{c|ccc}
  $k$ & $x_{0k}$ & $x_{1k}$ & $x_{2k}$\\\hline
  0 & 0,000 & 0,637 & 0,212 \\
  1 & 0,318 & 0,127 & 0,091 \\
  2 & 0,159 & 0,071 & 0,058 \\
  3 & 0,106 & 0,049 & 0,042 \\
  4 & 0,080 & 0,037 & 0,034 \\
  5 & 0,064 & 0,030 & 0,028 \\
  6 & 0,053 & 0,025 & 0,024 \\
  7 & 0,045 & 0,022 & 0,021
  \end{tabular}
  }\\ 
  \EPSC{11rr091}{7.5cm}{6cm}{
  \PSFM{0.1}{0,1} \PSFM{0.2}{0,2} \PSFM{0.3}{0,3} 
  \PSFM{m0.1}{$-0{,}1$} \PSFM{m0.2}{$-0{,}2$} \PSFM{m0.3}{$-0{,}3$} 
  \PSFM{0.02}{0,02} \PSFM{0.04}{0,04} \PSFM{0.06}{0,06} 
  \PSFM{m0.02}{$-0{,}02$} \PSFM{m0.04}{$-0{,}04$} 
  \PSFM{m0.06}{$-0{,}06$} 
  } 
\item $\D f'(x)=2\,x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}$\\
\item $\D f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{h^{2}\sin\frac{1}{h}-0}{h}=0$\\
\item $\D\lim_{x\to 0}f(x)=f(0)=0$, d.h. $f$ ist stetig bei
  $x=0$.\\[2mm]
  $\D f'(x)=\begin{cases}
  \D 2\,x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x} & \text{f"ur $x\neq 0$}\\
   0 & \text{f"ur $x=0$}\\
  \end{cases}$,\quad
  aber $\D\lim_{x\to 0}f'(x)$ existiert nicht.\\[2mm] 
  $f$ ist in ganz $\RR$
  differenzierbar, aber $f'$ ist bei $x=0$ unstetig!!
\end{enumerate}
}
