\ANG{
\label{A11rr013}{\bf Die lineare N"aherung}\\[2mm]
In vielen Anwendungen der Mathematik, besonders in der Physik, taucht
folgendes Problem auf: Man kennt den Wert einer Funktion $f$ an der Stelle $x$
und man braucht eine m"oglichst einfache Methode, um die Funktionswerte von
$f$ in einer kleinen Umgebung von $x$ n"aherungsweise zu berechnen. 
\begin{enumerate}
\item Beweisen Sie unter Bezugnahme auf die Definition der Ableitung die
  Formel der {\bf linearen N"aherung}:
  \[\fbox{$\D f(x+h)\approx f(x)+f'(x)\cdot h$ f"ur $|h|\ll 1$}\]
\item Berechnen Sie eine N"aherungsformel f"ur $(1+h)^n$ mit $|h| \ll 1$!\\
Wie lautet die Formel speziell f"ur $n = -1$?
\item Wie kann mit der in (b) gefundenen Formel $(a+h)^n$ berechnet werden?
\item Berechnen Sie eine N"aherungsformel f"ur $\sqrt{1+h}$.

\end{enumerate}
}
\LSG{
  \begin{enumerate}
  \item $\D f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\approx
        \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ f"ur $|h|\ll 1$
  \item $f(x)=x^{n}$, $f'(x)=n\,x^{n-1}$, $f(1)=1$, $f'(1)=n$\\[2mm] 
    lineare N"aherung: $f(1+h)\approx f(1)+f'(1)\cdot h=1+n\cdot h$\\[2mm]
    $\fbox{$(1+h)^{n}\approx 1+n\cdot h$}$\quad
    $n=-1\quad\DANN\quad\fbox{$\D\frac{1}{1+h}\approx 1-h$}$
  \item $\D (a+h)^{n}=a^{n}\,\left(1+\frac{h}{a}\right)^{n}\approx
            a^{n}\,\left(1+\frac{n\,h}{a}\right)=a^{n-1}\,(a+n\,h)$
  \item $f(x)=\sqrt{x}$, $\D f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, $f(1)=1$, 
        $f'(1)=\frac{1}{2}$\\[2mm]
        lineare N"aherung: $f(1+h)\approx f(1)+f'(1)\cdot h=1+\frac{h}{2}$
        \[\fbox{$\D\sqrt{1+h}\approx 1+\frac{h}{2}$}\]
  \end{enumerate}

}



%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "rr1"
%%% End: 
