\ANG{
\begin{enumerate}
\item Wie lautet die Formel f"ur die lineare N"aherung von $f(x+h)$?
  Erl"autern Sie das Zustandekommen dieser Formel an Hand einer vollst"andig 
  beschrifteten Skizze.
\item Eine Lichtquelle, die Licht der Frequenz $f$ aussendet, bewegt sich mit
  der Geschwindigkeit $v=\beta c$ ($c$ ist die Lichtgeschwindigkeit) auf einen
  Beobachter zu. Der Beobachter registriert dabei Licht der Frequenz
  \[f^{*}=f\cdot\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}.\]
  Weisen  Sie unter Verwendung schon bekannter N"aherungsformeln nach, dass 
  unter der Voraussetzung $|\beta|\ll 1$ die N"aherung $f^{*}\approx (1+\beta) f$
  gilt. 
%  F"ur welche $\beta$ ist der Betrag des relativen Fehlers der linearen
%  N"aherung f"ur $f^{*}$ kleiner als ein Prozent? 
\end{enumerate}
}
\LSG{\EPSR{8cm}{11rr216}{6cm}{}{}{
\vspace{-5mm}
\begin{enumerate}
\item Die Tangente an $f$ in $\EPUNKT{P}{x}{f(x)}$ hat die Steigung
 $\D\frac{\RMd f}{h}=f'(x)$. Das Differential $\RMd f=f'(x)h$ ist f"ur kleine
 $|h|$ eine gute N"aherung f"ur $\Delta f=f(x+h)-f(x)$, d.h. 
\[f(x+h)=f(x)+\Delta f\approx f(x)+f'(x)h\]
\item Mit $\sqrt{1+h}\approx 1+\frac{h}{2}$, $(1+h)^{2}\approx 1+2h$ und 
  $\D\frac{1}{1+h}\approx 1-h$
  f"ur $|h|\ll 1$ folgt\\[2mm] 
  $\D f^{*}\approx f\frac{1+\frac{\beta}{2}}{1-\frac{\beta}{2}}\approx
  f\left(1+\frac{\beta}{2}\right)^{2}\approx f(1+\beta)$
\end{enumerate}
}
}
%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
