\ANG{
Berechne f"ur die Funktion $\D f(x)=\sqrt[3]{1+x}$ das Taylorpolynom dritter
Ordnung mit dem Entwicklungspunkt $x_{0}=0$ und ermittle damit einen
N"aherungswert f"ur $\sqrt[3]{1{,}03}$. 

Vergleiche mit dem
Taschenrechnerergebnis und gib den relativen Fehler der N"aherung an.
} 
\LSG{
$\D f(x)=(1+x)^{\frac 13},\,\,\,\, 
f'(x)=\frac 13 (1+x)^{-\frac 23},\,\,\,\, f''(x)=-\frac 29 (1+x)^{-\frac 53},\,\,\,\, 
f'''(x)=\frac{10}{27} (1+x)^{-\frac 83}$\\[2mm]
$\D f(0)=1,\quad f'(0)=\frac 13,\quad f''(0)=-\frac 29,\quad
f'''(0)=\frac{10}{27}$
\[\sqrt[3]{1+x}\approx T_{3}(x)=
f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2}x^{2}+\frac{f'''(0)}{3!}x^{3}=
1+\frac 13\,x-\frac 19\,x^{2}+\frac{5}{81}\,x^{3}\]
\[T_{3}(0{,}03)=
 \underbrace{1+0{,}01-0{,}0001}_{1{,}0099}+\frac{5}{3}\cdot 10^{-6}=
  1{,}009901667\]
Taschenrechnerwert: $\D y=1{,}009901634,\quad
\delta_{\text{rel}}=\frac{T_{3}(0{,}03)-y}{y}=3{,}23\cdot 10^{-8}$
}
