\ANG{
Untersuchen Sie folgende Funktionen auf Stetigkeit und 
Differenzierbarkeit. An nichtdifferenzierbaren Stellen sind die einseitigen 
Ableitungen zu berechnen. Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen.\\
\begin{tabular}{lll} 
(a) $f(x)=\sqrt[3]{x^2}$ & 
(b) $\D f(x)=\frac{x+|x|}{2}\cdot \sqrt{|x|}$ & 
(c) $\D f(x)=\begin{cases}
        \D\frac{x+|x|}{2\cdot \sqrt[3]{|x|}} &\text{f"ur $x\neq 0$}\\
        \quad\;\; 0 &\text{f"ur $x=0$}\\        
        \end{cases}$
\end{tabular}

}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\D f(x)=|x|^{\frac{1}{3}}$ ist "uberall stetig. 
  $\D f'(x)=\frac{2\cdot\mathrm{sgn}(x)}{3\cdot\sqrt[3]{|x|}}$\\[3mm]
  $\D\lim_{x\to 0^{\pm}}f'(x)=\pm\infty$, d.h. $f$ bei $x=0$ nicht
  differenzierbar. 
\item $\D f(x)=\begin{cases}
  0 & \text{f"ur $x<0$}\\
  x\sqrt{x} & \text{f"ur $x\geqq 0$}\\
\end{cases}$\quad,\quad
$\D f'(x)=\begin{cases}
  0 & \text{f"ur $x<0$}\\
  \frac{3}{2}\,\sqrt{x} & \text{f"ur $x\geqq 0$}\\
\end{cases}$\\[3mm]
$f$ stetig und differenzierbar in $\RR$ ($f'(0)=0$).
\item $\D f(x)=\begin{cases}
  0 & \text{f"ur $x\leqq 0$}\\
  \D x^{\frac{2}{3}} & \text{f"ur $x>0$}\\
\end{cases}$\quad,\quad
$\D f'(x)=\begin{cases}
  0 & \text{f"ur $x<0$}\\
  \D\frac{2}{3}\,x^{-\frac{1}{3}} & \text{f"ur $x>0$}\\
\end{cases}$\\[3mm]
$\D\lim_{x\to 0^{\pm}}f(x)=f(0)=0$, $\D\lim_{x\to 0^{-}}f'(x)=0$, 
$\D\lim_{x\to 0^{+}}f'(x)=+\infty$\\[3mm]
$f$ stetig aber nicht differenzierbar bei $x=0$.
\end{enumerate}
}
