\ANG{
Wir betrachten die Funktion\qquad  
$\D f(x)=\frac{(4-x^2)\cdot |x+1|}{2\,x+4}$.
\begin{enumerate}
\item Schreiben Sie die Definitionsmenge und eine betragsfreie,
  m"oglichst einfache Darstellung von $f$ hin. Untersuchen Sie $f$ auf
  Stetigkeit und geben Sie, wenn m"oglich, eine stetige Fortsetzung
  von $f$ an. 
\item Untersuchen Sie $f$ auf Differenzierbarkeit. An
  nichtdifferenzierbaren Stellen sind die einseitigen Ableitungen zu
  berechnen. Wo hat der Graph G$_f$ eine waagrechte Tangente? Zeichnen 
  Sie G$_f$ in der Einheit 1\,cm im Intervall $[\,-3\,;3\,]$. 
\item Die Teilaufgaben (a) und (b) sind jetzt f"ur die Funktion 
  \[ g(x)=\frac{(4-x^2)\cdot |x+1|}{|2\,x+4|}\] 
  zu l"osen. Dabei ist reger Gebrauch von den Ergebnissen der
  Teilaufgaben (a) und (b) zu machen! 
\end{enumerate}

}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item   $\D \DD_{f}=\RR\OHNE\{-2\},\qquad
  \D f(x)=\begin{cases}
     \frac{1}{2}\,(x^{2}-x-2) & \text{f"ur $x<-1$, $x\neq -2$}\\
      -\frac{1}{2}\,(x^{2}-x-2) & \text{f"ur $x\geqq -1$}
   \end{cases}$\\
  $f$ stetig bei $x=-1$, stetig fortsetzbar bei $x=-2$: 
  $\D\tilde{f}(x)=\begin{cases}f(x)&\text{f"ur $x\neq -2$}\\2&\text{f"ur $x=-2$}\end{cases}$
\item $ \D f'(x)=\begin{cases}
     x-\frac{1}{2} & \text{f"ur $x<-1$, $x\neq -2$}\\
      -x+\frac{1}{2} & \text{f"ur $x>-1$}
   \end{cases}$,\quad $f'_{+}(-1)=\frac{3}{2}$, $f'_{-}(-1)=-\frac{3}{2}$\\  
   $f$ nicht differenzierbar bei $x=-1$ (bei $x=-2$ nicht def. und damit auch nicht
   differenzierbar).\\
   $f'(x)=0\quad\DANN\quad x=\frac{1}{2}$, waagrechte Tangente bei $(0{,}5\,|\,1{,}125)$
\item  $\D \DD_{g}=\RR\OHNE\{-2\},\qquad
  \D g(x)=\begin{cases}
     -\frac{1}{2}\,(x^{2}-x-2) & \text{f"ur $x\geqq -1$ und $x<-2$}\\
      \frac{1}{2}\,(x^{2}-x-2) & \text{f"ur $-2<x<-1$}
   \end{cases}$\\
  $g$ stetig bei $x=-1$, nicht stetig bei $x=-2$ (Sprung).\\
   $ \D g'(x)=\begin{cases}
     -x+\frac{1}{2} & \text{f"ur $x>1$ und $x<-2$}\\
      x-\frac{1}{2} & \text{f"ur $-2<x<-1$}
   \end{cases}$,\quad $g'_{+}(-1)=\frac{3}{2}$, $g'_{-}(-1)=-\frac{3}{2}$\\  
   $g$ nicht differenzierbar bei $x=-1$ (bei $x=-2$ nicht def. und damit auch nicht
   differenzierbar).\\
   $g'(x)=0\quad\DANN\quad x=\frac{1}{2}$, waagrechte Tangente bei $(0{,}5\,|\,1{,}125)$
\end{enumerate}
}
