\ANG{
Betrachten Sie den Satz\\[2mm]
$ f(a)=g(a) \quad \wedge \quad f'(x)>g'(x)\quad \mbox{in}\quad 
]\,a\,;b\,[\quad 
\Longrightarrow \quad f(x) > g(x) \quad \mbox{in}\quad ]\,a\,;b\,[$\\[2mm]
und beweisen Sie mit dessen Hilfe die Ungleichung: \hspace{1cm} $\tan x > x$ \quad in \quad 
$]\,0\,;\frac{\pi}{2}\,[$.\\[2mm]
Von welchen Seiten n"ahert sich  
$\D h(x)=\frac{\tan x}{x}$ f"ur $x\to 0^{\pm}$ an seinen Grenzwert an?

}
\LSG{
$f(x)=\tan x$,\quad $\D f'(x)=\frac{1}{\cos^{2}x}>0$,\quad
$\D f''(x)=\frac{2\,\tan x}{\cos^{2}x}>0$ in $]\,0\,;\frac{\pi}{2}\,[$\\[3mm]
$f'(0)=1\,\wedge\,f''(x)>0$ in 
$]\,0\,;\frac{\pi}{2}[\quad\DANN\quad f'(x)>1$ in 
$]\,0\,;\frac{\pi}{2}\,[$\\[3mm]
$g(x)=x$, $g'(x)=1$\\[3mm]
$f(0)=g(0)=0$ und $f'(x)>g'(x)$ in
$]\,0\,;\frac{\pi}{2}\,[\quad\DANN\quad\tan x>x$ in
$]\,0\,;\frac{\pi}{2}\,[$\\[3mm] 
Aus der Symmetrie von $h$ zur $y$-Achse folgt dann\\[2mm] 
$\D h(x)=\frac{\tan x}{x}>1$ in
$]\,-\frac{\pi}{2}\,;\frac{\pi}{2}\,[\,\setminus\,\{0\}$. Damit ist
\[\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=
  \lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1}{\cos x}\right)=
  1^{+}
\]
}
