\ANG{
Wir betrachten die Funktion $f$ mit der Gleichung
\[f(x)=\frac{x^{2}-1}{x-2}\]
\begin{enumerate}
\item In welchen $x$-Bereichen ist $f(x)$ positiv, in welchen negativ?
\item Gib den maximalen Definitionsbereich $\DD_{f}$ von $f$ an und untersuche
  das Verhalten von $f$ an den R"andern von $\DD_{f}$. 
\item Zeichne den Grafen von $f$ in geeigneten Einheiten.
\item F"ur welche $x$ ist $f(x)>100$?
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item
  \begin{tabular}[t]{c|c|c|c|c}
             & $]-\infty, -1[$ & $]-1, 1[$ & $]1, 2[$ & $]2,\infty[$\\ \hline
   $x^{2}-1$ & $+$ & $-$ & $+$ & $+$ \\
   $x-2$ & $-$ & $-$ & $-$ & $+$ \\
   $f(x)$ & $-$ & $+$ & $-$ & $+$ \\
  \end{tabular}\\
\item $\D\DD_{f}=\RR\OHNE\{2\}$, $\D f(x)=x+2+\frac{3}{x-2}\QDQ$ schr"age
  Asymptote: $y=x+2$
\item \EPSR{6cm}{11rr2341}{8cm}{}{}{
 \begin{tabular}[t]{r|r}
  $x$ & $f(x)$ \\\hline
  $-4{,}0$  & $-2{,}50$\\
  $-2{,}0$ & $-0{,}75$ \\
  $-1{,}0$ & $0{,}00$ \\
  $0{,}0$ & $0{,}50$ \\
  $1{,}0$ & $0{,}00$ \\
  $1{,}5$ & $-2{,}50$ \\
  $2{,}5$ & $10{,}50$ \\
  $3{,}0$ & $8{,}00$ \\
  $4{,}0$ & $7{,}50$ \\
  $5{,}0$ & $8{,}00$ \\
  $7{,}0$ & $9{,}60$ \\
 \end{tabular}
}
\item $f(x)>100$ kommt nur f"ur $x>2$ in Frage:$\QDQ x-2>0\QDQ$
  \begin{align*}
    &&\frac{x^{2}-1}{x-2} &> 100\\
    \GENAUDANN&&x^{2}-1 &> 100x-200\\
    \GENAUDANN&&x^{2}-100x+50^{2} &> 2301\\
    \GENAUDANN&&|x-50| &> \sqrt{2301}\\
    \GENAUDANN&& x>50+\sqrt{2301} & \,\vee\, x<50-\sqrt{2301}\\
    \text{oder ungef"ahr}&& x>97{,}9687 & \,\vee\, x<2{,}03126\\
  \end{align*}
\[f(x)>100\quad\GENAUDANN\quad x\in\,]2,50-\sqrt{2301}[\,\cup\, ]50+\sqrt{2301},\infty[\]
\end{enumerate}
}
