\ANG{
Wir betrachten die Funktion $f$ mit der Gleichung
\[f(x)=\frac{x^{2}+x-2}{2x-4}\]
\begin{enumerate}
\item Bestimme die maximale Definitionsmenge $\DD_{f}$ von $f$ und berechne die
  Nullstellen von $f$. 
\item In welchen $x$-Bereichen ist $f(x)$ positiv, in welchen negativ?
\item Untersuche das Verhalten von $f$ an den R"andern von $\DD_{f}$. Gib die
  Gleichungen aller Asymptoten an. 
\item Zeichne den Grafen von $f$ gemeinsam mit den Asymptoten im $x$-Intervall $[-4;8]$.
\item $p(x)$ sei der Term der schr"agen Asymptote. F"ur welche
  $x$-Werte gilt \[|f(x)-p(x)|<10^{-3}\,?\]
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\D\DD_{f}=\RR\OHNE\{2\}$\\[2mm]
$\D x^{2}+x-2=0\QDQ \left(x+\frac12\right)^{2}=\frac94\QDQ
x_{01}=-2,\,\,\,x_{02}=1$
\item
  \begin{tabular}[t]{c|c|c|c|c}
             & $]-\infty, -2[$ & $]-2, 1[$ & $]1, 2[$ & $]2,\infty[$\\ \hline
   $x^{2}+x-2$ & $+$ & $-$ & $+$ & $+$ \\
   $x-2$ & $-$ & $-$ & $-$ & $+$ \\
   $f(x)$ & $-$ & $+$ & $-$ & $+$ \\
  \end{tabular}\\
\item \[\polylongdiv[style=C]{x^{2}+x-2}{2*x-4}\]
$\D f(x)=\frac12 x+\frac32+\frac{2}{x-2}\QDQ$ schr"age
  Asymptote: $\D y=p(x)=\frac12 x+\frac32$\\[2mm]
Senkrechte Asymptote: $x=2$\\[2mm]
$\D\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\pm\infty$\\[2mm]
$\D\lim_{x\to 2^{-}}f(x)=\lim_{h\to 0^{+}}f(2-h)=
\lim_{h\to 0^{+}}\left(\frac12 (2-h)+\frac32+\frac{2}{-h}\right)=
\left(\frac52+\frac{2}{0^{-}}\right)=-\infty$\\[2mm]
$\D\lim_{x\to 2^{+}}f(x)=\lim_{h\to 0^{+}}f(2+h)=
\lim_{h\to 0^{+}}\left(\frac12 (2+h)+\frac32+\frac{2}{h}\right)=
\left(\frac52+\frac{2}{0^{+}}\right)=+\infty$
\item \EPSR{6cm}{11rr2351}{8cm}{}{
\PSFM{-4}{$-4$} \PSFM{-3}{$-3$} \PSFM{-2}{$-2$} \PSFM{-1}{$-1$}
\PSFM{0}{0} \PSFM{1}{1} \PSFM{2}{2} \PSFM{3}{3} \PSFM{4}{4} \PSFM{5}{5} 
\PSFM{6}{6} \PSFM{7}{7}\PSFM{8}{8} \PSFM{9}{9} \PSFM{10}{10}  
\PSFM{x}{$x$} \PSFM{y}{$y$}  
}{
 \begin{tabular}[t]{r|r}
  $x$ & $f(x)$ \\\hline
  $-4{,}0$  & $-0{,}83$\\
  $-3{,}0$ & $-0{,}40$ \\
  $-2{,}0$ & $-0{,}00$ \\
  $-1{,}0$ & $0{,}33$ \\
  $0{,}0$ & $0{,}50$ \\
  $1{,}0$ & $0{,}00$ \\
  $1{,}5$ & $-1{,}75$ \\
  $2{,}5$ & $6{,}75$ \\
  $3{,}0$ & $5{,}00$ \\
  $4{,}0$ & $4{,}50$ \\
  $5{,}0$ & $4{,}67$ \\
  $6{,}0$ & $5{,}00$ \\
  $7{,}0$ & $5{,}40$ \\
  $8{,}0$ & $5{,}83$ \\
 \end{tabular}
}
\item
  \begin{align*}
    && |f(x)-p(x)|=\left|\frac{2}{x-2}\right|&< 10^{-3}\\
    \GENAUDANN&& |x-2|&>2000 \\
    \GENAUDANN&& x>2002 & \,\vee\, x<-1998\\
  \end{align*}
\end{enumerate}
}
