\ANG{
Wir betrachten die Funktion $f$ mit der Gleichung
\[ f(x)=\frac{(1-x)^{2}}{1+x^{2}}\]
\begin{enumerate}
\item Wie lautet die maximale Definitionsmenge von $f$? Untersuchen
  Sie $f$ auf Nullstellen. Berechnen Sie $\D\lim_{x\to\pm\infty}f(x)$.
\item Zeigen Sie, dass der Graph von $f$ zum Punkt $\EPUNKT{Z}{0}{1}$
  symmetrisch ist.
\item Berechnen Sie die Ableitung von $f$ und vereinfachen Sie das
  Ergebnis so weit wie m"oglich. Suchen Sie die Koordinaten der Punkte 
  mit waagrechter Tangente.
\item Zeichnen Sie den Graphen von $f$ im $x$-Intervall 
  $[\,-4\,,\,4\,]$. Verwenden Sie auf der
  $x$-Achse die Einheit 1\,cm und auf der $y$-Achse die Einheit 2\,cm.
\item Berechnen Sie mit Hilfe des Ergebnisses von Teilaufgabe (c) die
  Ableitung der Funktion $g$ mit der Gleichung $g(x)=\sqrt{f(x)}$ und
  vereinfachen Sie das Ergebnis.
\item Untersuchen Sie das Verhalten von $g'$ in der Umgebung von $x=1$
  und zeichnen Sie den Graphen von $g$ in das schon vorhandene
  Koordinatensystem ein.
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\D\DD_{f}=\RR$, Nullstelle: $x_{0}=1$,\quad
  $\D\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=1^{\mp}$
\item \rule{0mm}{0mm}
\vspace{-9mm}
   \begin{align*}
   \mathrm{G}_{f} \text{ symmetrisch zu Z }&\GENAUDANN\quad f(-h)-1=1-f(h)\\
  &\GENAUDANN\quad f(h)+f(-h)=2\\
  &\GENAUDANN\quad \frac{(1-h)^{2}}{1+h^{2}}+\frac{(1+h)^{2}}{1+h^{2}}=2\\
  &\GENAUDANN\quad 2=2
  \end{align*}
\item $\D f'(x)=-\frac{2\,(1-x^{2})}{(1+x^{2})^{2}}$\\[2mm]
  waagrechte Tangente bei $(-1\,|\,2\,)$ und  bei $(\,1\,|\,0\,)$
\item 
\item $\D g'(x)=\frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}=
  -\frac{(1-x)(1+x)}{|1-x|\,(1+x^{2})^{\frac{3}{2}}}$  
\item $\D\lim_{x\to 1^{\pm}}g'(x)=\pm\frac{1}{2}\sqrt{2}$ (Spitze von $g$ bei $x=1$)
\end{enumerate}
}
