\ANG{
Verwenden Sie die Definition der Ableitung, um $f'$ von
$\D f(x)=x^{\frac{3}{2}}$ zu berechnen.
}
\LSG{
  \begin{eqnarray*}
   f'(x) &=& \lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{\frac{3}{2}}-x^{\frac{3}{2}}}{h}=
   \lim_{h\to 0}\frac{\left[(x+h)^{\frac{3}{2}}-x^{\frac{3}{2}}\right]\cdot
     \left[(x+h)^{\frac{3}{2}}+x^{\frac{3}{2}}\right]}
     {h\cdot\left[(x+h)^{\frac{3}{2}}+x^{\frac{3}{2}}\right]}=\\
   &=&\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{3}-x^{3}}
     {h\cdot\left[(x+h)^{\frac{3}{2}}+x^{\frac{3}{2}}\right]}=
     \lim_{h\to 0}\frac{3\,x^{2}\,h+3\,x\,h^{2}+h^{3}}
     {h\cdot\left[(x+h)^{\frac{3}{2}}+x^{\frac{3}{2}}\right]}=\\
   &=&\frac{3\,x^{2}}{2\,x^{\frac{3}{2}}}=\frac{3}{2}\,x^{\frac{1}{2}} 
  \end{eqnarray*}

}