\ANG{
Berechnen Sie die Ableitung der Funktion
\[f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\]
mit Hilfe der Definition der Ableitung und weisen Sie nach, dass die Formel
f"ur die Ableitung von $x^{n}$ somit auch f"ur $n=-\frac{1}{2}$ gilt.
}
\LSG{
\begin{align}
f'(x)&=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=
\lim_{h\to 0}\frac{\D\frac{1}{\sqrt{x+h}}-\frac{1}{\sqrt{x}}}{h}=
\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x+h}}{h\sqrt{x}\sqrt{x+h}}=\nonumber\\
&=\lim_{h\to 0}\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{x+h})(\sqrt{x}+\sqrt{x+h})}
  {h\sqrt{x}\sqrt{x+h}(\sqrt{x}+\sqrt{x+h})}=
\lim_{h\to 0}\frac{x-(x+h)}{h\sqrt{x}\sqrt{x+h}(\sqrt{x}+\sqrt{x+h})}=\nonumber\\
&=\lim_{h\to 0}\frac{-h}{h\sqrt{x}\sqrt{x+h}(\sqrt{x}+\sqrt{x+h})}=
-\lim_{h\to 0}\frac{1}{1\sqrt{x}\sqrt{x+h}(\sqrt{x}+\sqrt{x+h})}=\nonumber\\
&=-\frac{1}{\sqrt{x}\sqrt{x}(\sqrt{x}+\sqrt{x})}=
-\frac{1}{2x\sqrt{x}}=-\frac{1}{2x^{\frac32}}=-\frac12 x^{-\frac32}
\nonumber
\end{align}
Mit $\left(x^{n}\right)'=nx^{n-1}$ und $\D f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-\frac12}$
folgt
\[f'(x)=-\frac12x^{-\frac12-1}=-\frac12 x^{-\frac32}\]
}
