\ANG{
Wir betrachten die Funktion $f\,:\,x\,\mapsto f(x)$ mit 
\[f(x)=\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}\]
\begin{enumerate}
\item Bestimmen Sie die Definitionsmenge $\DD_{f}$ und untersuchen Sie $f$ auf
  Nullstellen.
\item Untersuchen Sie das Verhalten von $f$ an den R"andern des Definitionsbereichs.
\item Berechnen Sie die Ableitung von $f$ und vereinfachen Sie so weit wie
  m"oglich. Berechnen Sie auch den Grenzwert $\D\lim_{x\to 0^{+}}f'(x)$.
\item Skizzieren Sie den Graphen von $f$ in geeignet gew"ahlten Einheiten im Intervall
  $x\in [0\,;\,9]$.
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\D\DD_{f}=\RR_{0}^{+}\OHNE\{4\}$; die Nullstelle des Z"ahlers ist $4\notin\DD_{f}$,
  d.h. keine NS.
\item $\D\lim_{x\to 4}f(x)=
  \lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{x}-2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}=
  \lim_{x\to 4}\frac{1}{\sqrt{x}+2}=\frac{1}{4}$

  $\D\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\sqrt{x}+2}=0^{+}$;
  $f(0)=\frac{1}{2}$
\item Zuerst $f(x)$ umformen: $\D f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}+2}$ 

  $\D f'(x)=-\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x}+2)^{2}}=
            -\frac{1}{2\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)^{2}}$\\

  oder direkt:
  \begin{align}
      f'(x)&=\frac{(x-4)\frac{1}{2\sqrt{x}}-(\sqrt{x}-2)}{(x-4)^{2}}=
                -\frac{x-4\sqrt{x}+4}{2\sqrt{x}(x-4)^{2}}=\nonumber\\
           &=  -\frac{(\sqrt{x}-2)^{2}}{2\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)^{2}(\sqrt{x}+2)^{2}}=
               -\frac{1}{2\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)^{2}}\nonumber
  \end{align}
   $\D\lim_{x\to 0}f'(x)=-\infty$
\end{enumerate}
}

