\ANG{
Untersuchen Sie ob folgende Funktionen bei $x_0$ bzw.\ $x_n$ differenzierbar
sind.
\begin{enumerate}
\item $f(x)=\sin |x|,\qquad x_0=0$
\item $f(x)=|\sin x|\cdot x,\qquad x_0=0, x_n=n\pi\mbox{ mit } n\in\ZZ$
\item $\D f(x)=\frac{|x|-2}{x^2-x-2},\qquad x_0=0$
\item $\D f(x)=\frac{x}{|x|+1},\qquad x_0=0$
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $$f'(x)=\left\{ \begin{array}{ccl} \cos(x)&\mbox{f"ur}& x>0\\
                                       -\cos(-x)&\mbox{f"ur}& x<0
              \end{array}\right.$$
      $\Rightarrow \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0+0}f'(x)=1\not =\lim_{x\rightarrow 0-0}f'(x)=-1$,
      also bei $x_0=0$ nicht differenzierbar.
\item $$f'(x)=\left\{ \begin{array}{ccl} x\cos(x)+\sin(x)&\mbox{f"ur}&2k\pi<x<(2k+1)\pi, k\in\ZZ\\
                                        -x\cos(-x)-\sin(x)&\mbox{f"ur}&(2k+1)\pi<x<(2k+2)\pi, k\in\ZZ
               \end{array}\right. $$
       $\Rightarrow$ bei $x_0=0$ differenzierbar, bei $x_n=n\pi$ nicht
       differenzierbar.
\item $$f'(x)=\left\{ \begin{array}{ccl} \frac{-x^2+4x-4}{(x^2-x-2)^2}
                                       & \mbox{f"ur}& x>0\\
                                       \frac{x^2+4x}{(x^2-x-2)^2}&
                                       \mbox{f"ur}& x<0\end{array}\right. $$
      $\Rightarrow\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0+0}f'(x)=-1\not =\lim_{x\rightarrow 0-0}f'(x)=0$;
      bei $x_0=0$ nicht differenzierbar.
\item $$f'(x)=\left\{ \begin{array}{ccl} \frac{1}{(x+1)^2}&\mbox{f"ur}& x>0\\
                                       \frac{1}{(-x+1)^2}&\mbox{f"ur}& x<0\end{array}\right. $$
       $\Rightarrow\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0+0}=1=\lim_{x\rightarrow 0-0}=1$;
       bei $x_0=0$ differenzierbar.
\end{enumerate}
}
