\ANG{
\begin{enumerate}
\item Wir betrachten die Funktion 
\[ f(x)=x^{\frac{n}{m}}\quad\text{mit}\quad
   n\in\ZZ,\,\,m\in\ZZ\backslash\{0\}\quad\text{und}\quad x>0
\]
Potenzieren Sie die Funktionsgleichung mit $m$ und differenzieren Sie
beide Gleichungsseiten (Kettenregel!). Beweisen Sie dann, dass die
bekannte Ableitungsregel f"ur die Potenzfunktion auch f"ur rationale
Exponenten gilt.
\end{enumerate}
Berechnen Sie die Ableitung von $f$ und geben Sie $\DD_{f}$ an:\\[2mm]
\begin{tabular}{lll}
  (b) $f(x)=\sqrt[3]{x}$ & 
  (c) $f(x)=\sqrt[100]{x^{101}}$ & 
  (d) $f(x)=\sqrt[3]{(x-1)^{2}}$\\&&\\
  (e) $f(x)=\sqrt[3]{\sin x}$ &
  (f) $\D f(x)=\sqrt[3]{\frac{x}{x-1}}$ & 
  (g) $f(x)=(1-x^{2})^{-\frac{3}{2}}$\\&&\\ 
  (h) $f(x)=\sqrt[4]{\sin^{3}x}$ &
  (i) $f(x)=\sqrt[5]{\sin^{2}x}$ &
  (j) $f(x)=\sqrt[5]{\sin^{3}\left(x^{\frac{3}{2}}\right)}$
\end{tabular}

}
\LSG{
  \begin{tabular}[t]{lllll}
   (b) $\D\frac{1}{3}\,x^{-\frac{2}{3}}$ & 
   (c) $\D\frac{101}{100}\,\sqrt[100]{x}$ & 
   (d) $\D\frac{2}{3}\,(x-1)^{-\frac{1}{3}}$\\
   &&\\
   (e) $\D\frac{\cos x}{3\,\sqrt[3]{\sin^{2}x}}$ & 
   (f) $\D\frac{-1}{3\,\sqrt[3]{x^{2}(x-1)^{4}}}$ &
   (g) $\D\frac{3\,x}{\left(1-x^{2}\right)^{\frac{5}{2}}}$\\ 
   &&\\
   (h) $\D\frac{3\,\cos x}{4\,\sqrt[4]{\sin x}}$ & 
   (i) $\D\frac{2\,\cos x}{5\,\sqrt[5]{\sin^{3} x}}$ & 
   (j) $\D\frac{9\,\sqrt{x}\,\cos x^{\frac{3}{2}}}{10\,\sqrt[5]{\sin^{2} x^{\frac{3}{2}}}}$ 
  \end{tabular}
}
