\ANG{
Gegeben ist die Funktion $f(x)=x^2-4x+4, \DD=\RR$.
\begin{enumerate}
\item Geben Sie allgemein die Gleichung der Tangente $t_n(x)$ im Punkt
$(x_n|f(x_n))$ an.
\item Bestimmen Sie allgemein den Schnittpunkt S$_{n+1}(x_{n+1}|0)$ von
$t_n(x)$ mit der x-Achse f"ur $x_n\not =2$.
\item Geben Sie $x_n$ f"ur $n\in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ und $x_0=10$ an.
\item Zeigen Sie, dass $x_n$ f"ur $n$ gegen Unendlich gegen die Nullstelle von
$f(x)$ konvergiert.
\end{enumerate}

}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $t_n(x)=(2x_n-4)(x-x_n)+y_n=2(x_n-2)(x-x_n)+(x_n-2)^2$
\item $t_n(x_{n+1})=0=(2x_n-4)(x_{n+1}-x_n)+(x_n-2)^2$\vspace{2mm} \\
      $\Rightarrow x_{n+1}=x_n-\frac12(x_n-2)=1+\frac12x_n$\vspace{2mm} \\
      $\Rightarrow S_{n+1}(1+\frac12x_n|0)$
\item $x_0=10$, $x_1=6$, $x_2=4$, $x_3=3$, $x_4=2{,}5$, $x_5=2{,}25$, $x_6=2{,}125$,
      $x_7=2{,}0625$, $x_8=2{,}03125$, $x_9=2{,}015625$, $x_{10}=2{,}0078125$
\item Nullstelle von $f(x)$ bei $N(2|0)$.
      $$x_n=1+\frac12+\frac14+\frac18+...+\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}+\left(\frac{1}{2}\right)^nx_0
      \Rightarrow$$
      $$\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=
      \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac12\right)^n+\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac12\right)^nx_0=2$$
\end{enumerate}
}
