\ANG{
\begin{enumerate}
\item Die Formel f"ur das Newtonverfahren lautet
  \[ x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}\]
  Erl"autern Sie die Bedeutung der einzelnen Gr"o"sen in dieser Formel
  und leiten Sie die Formel anhand einer exakt beschrifteten Zeichnung 
  her.
\item L"osen Sie die Gleichung 
  \[\cos 2x=\sqrt{x}\] 
  mit dem Newtonverfahren. Bestimmen Sie dazu zeichnerisch 
  (Einheit 5\,cm auf beiden Achsen) einen
  N"aherungswert $x_{0}$ f"ur die L"osung und
  berechnen Sie drei Verbesserungen dieses N"aherungswertes.
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $x_{n}$ ist ein N"aherungswert f"ur eine Nullstelle von $f$, $x_{n+1}$ ist eine
  bessere N"aherung.
\item $\D f(x)=\cos 2x-\sqrt{x}=0$,\quad
  $\D f'(x)=-2\sin 2x-\frac{1}{2\sqrt{x}}$\\[2mm]
  $\D x_{n+1}=x_{n}+\frac{\cos 2x_{n}-\sqrt{x_{n}}}{2\sin
    2x_{n}+\frac{1}{2\sqrt{x_{n}}}}$\\[2mm]
  $x_{0}=0{,}4$, $x_{1}=0{,}428873279$, $x_{2}=0{,}428547914$, $x_{3}=0{,}428547874$
\end{enumerate}
}
