\ANG{
\begin{enumerate}
\item Leiten Sie an Hand einer vollst"andig 
  beschrifteten Skizze her, wie man aus einem N"aherungswert $x_{n}$ f"ur die
  L"osung der Gleichung $f(x)=0$ einen besseren N"aherungswert $x_{n+1}$
  erh"alt ({\sc Newton}-Verfahren). 
\item Gesucht ist die L"osung der Gleichung $\sin x=x^{2}$ mit zehn geltenden
  Ziffern. Zeichnen Sie dazu den
  Grafen der Funktion $f(x)=\sin x-x^{2}$ (Einheit:
  $1\,\widehat{=}\,5\,\text{cm}$) im $x$-Intervall $[0;1{,}2]$ und entnehmen
  Sie dem Grafen einen geeigneten Startwert $x_{1}$ f"ur das
  Newton-Verfahren. 
\end{enumerate}
}
\LSG{\EPSR{7.5cm}{11rr217}{4cm}{}{}{
\vspace{-5mm}
\begin{enumerate}
\item $x_{n}$ sei ein N"aherungswert f"ur die Nulstelle $x_{0}$ von $f$. 
 Die Tangente an $f$ in $\EPUNKT{P}{x_{n}}{f(x_{n})}$ hat die Steigung
 \[f'(x_{n})=\frac{0-f(x_{n})}{x_{n+1}-x_{n}}\quad\DANN\]
 \[x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}\]
\end{enumerate}
}
\EPSR{5cm}{11rr2172}{8cm}{}{}{
\vspace{-5mm}
\begin{enumerate}
\item[(b)] Erste Nullstelle: $x_{01}=0$\\[2mm]
Geeignete Startwerte f"ur die zweite Nullstelle $x_{02}$:\\[2mm]
$x_{1}=1$ oder $x_{1}=0{,8}$\\[2mm]
$f'(x)=\cos x-2x$\\[2mm]
$\D x_{x+1}=x_{n}-\frac{\sin x_{n}-x_{n}^{2}}{\cos x_{n}-2x_{n}}$
\end{enumerate}
}
\begin{enumerate}
\item[] 
    \begin{tabular}[t]{c|c|c|c|c|c|c|c}
      $x$& 0 & 0,2 & 0,4 & 0,6 & 0,8 & 1,0 & 1,2 \\\hline
      $f(x)$& 0 & 0,159 & 0,229 & 0,205 & 0,077 & $-0{,}159$ & $-0{,}508$  
    \end{tabular}\\[2mm]
\parbox[t]{5cm}{\begin{align}
x_{1} &= 1{,}0\nonumber\\
x_{2} &= 0{,}8913959953\nonumber\\
x_{3} &= 0{,}8769848448\nonumber\\
x_{4} &= 0{,}8767262985\nonumber\\
x_{5} &= 0{,}8767262154\nonumber\\
x_{6} &= 0{,}8767262154\nonumber
\end{align}}
\parbox[t]{5cm}{
\begin{align}
x_{1} &= 0{,}8\nonumber\\
x_{2} &= 0{,}8856378451\nonumber\\
x_{3} &= 0{,}8768229140\nonumber\\
x_{4} &= 0{,}8767262271\nonumber\\
x_{5} &= 0{,}8767262153\nonumber\\
x_{6} &= 0{,}8767262154\nonumber\\
x_{7} &= 0{,}8767262154\nonumber
\end{align}}
\end{enumerate}
}
%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
